Вопросы по функану

[ShMaxG]

мат-ламер
Вы убрали самое главное. Еще раз:

Я ввожу определение секвенциального замыкания так:

"Секвенциальное замыкание множества $S$ - это пересечение всех секвенциально замкнутых множеств, содержащих $S$"

Вопрос: следует ли отсюда, что "секвенциальное замыкание множества - множество всех секвенциальных точек прикосновения"?

Оказывается, что нет.AGu говорит, что дело в $\[ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} \ne \left[ A \right]_{seq} \]$ для некоторых $A$, где секвенциальное замыкание понимается в прежнем смысле. Т.е., как я понимаю, достаточно доказать $\[ \left[ {\left[ A \right]_{seq} } \right]_{seq} = \left[ A \right]_{seq} \]$ для любого $A$ в смысле моего определения секвенциального замыкания, после чего станет ясно, что ответ на мой вопрос --- нет.

-- Пн июл 13, 2009 16:57:34 --

Рассматривается топологическое пространство в общем случае, без всяких аксиом счетности.

[мат-ламер]

ShMaxG. Я извиняюсь. Пытался разобраться, что Вы доказываете, написал ерунду и потом убрал.

-- Пн июл 13, 2009 17:09:09 --

ShMaxG. Думаю, что понятие секвенционального замыкания и не сильно важно. Для пространств с первой аксиомой счётности - что секвенционально замкнуто, что просто замкнуто - одно и то же. А если без этой аксиомы, то проще говорить о замыкании и точках прикосновения.

-- Пн июл 13, 2009 17:28:04 --

Возможно в последнем утверждении я не прав. Посмотрел учебник. Кроме пространств с первой аксиомой счётности есть более общие пространства Фреше-Урысона (для любой точки из замыкания $A$ существует последовательность точек из $A$, сходящейся к ней). И есть ещё более общие секвенциональные пространства (множество замкнуто, тогда и только тогда, когда со всякой последовательностью оно содержит и все его пределы).

[AGu]

Подсобить? (Если я поторопился -- зажмурьтесь и не читайте дальше.)

Пусть $X$ -- топологическое простанство.
Для $A\subseteq X$ положим $\lambda A := \bigl\{x\in X : \bigl(\exists\,(a_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq A\bigr)\ a_n\to x\bigr\}$.

Это своего рода «недозамыкание» множества $A$.
Кстати, ниже конкретное определение $\lambda A$ почти не будет использовано.
Все что нужно от недозамыкания, -- это равенство $\lambda X=X$.

Итак, пусть $\Sigma := \{A\subseteq X : \lambda A\subseteq A\}$. (Важно лишь, что $X\in\Sigma$.)
Для $A\subseteq X$ положим $\Sigma(A)=\{S\in\Sigma : A\subseteq S\}$ и $\sigma A := \cap\Sigma(A)$.
Рассмотрим любое $A\subseteq X$ и покажем, что $\sigma(\sigma A)=\sigma A$.

Как легко видеть, $B\subseteq\sigma B$ для всех $B\subseteq X$ и, в частности, для $B:=\sigma A$.
Следовательно, $\sigma A\subseteq\sigma(\sigma A)$. Что касается обратного включения
$\cap\Sigma(A)=\sigma A\supseteq\sigma(\sigma A)=\cap\Sigma(\sigma A)$, то для его обоснования
достаточно заметить, что $\Sigma(A)\subseteq\Sigma(\sigma A)$, а это так, ибо для любого
$S\in\Sigma(A)$ мы имеем $\sigma A=\cap\Sigma(A)\subseteq S$, т.е. $S\in\Sigma(\sigma A)$.

Ничего не напутал?

[Виктор Викторов]

ShMaxG в сообщении #227826 писал(а):

Какая связь между точками прикосновения и предельными точками?

Рядом с этим вопросом есть ещё один. Каждая точка прикосновения множества предельная или изолированная точка. С другой стороны, каждая точка прикосновения множества внутренняя или граничная точка. Можно ли каждое утверждение, сформулированное для предельной или изолированной точки переформулировать, используя внутреннюю или граничную точку?

[ShMaxG]

AGu
Блестяще! Я бы не догадался, со всеми этими формулами-вывертами из теории множеств (которые, кстати, не мешало бы мне посмотреть). Спасибо!

[terminator-II]

тем не менее если понятие "последовательность" должным образом обобщить, а именно от последовательностей перейти к направленостям [Энгелькинг Общая топология] то "порядок" вполне восстанавливается. так, например, если $A$ -- подмножество хаусдорфова топ. пространства, то $x\in \overline A$ iff в $A$ существует направленность сходящаяся к $x$. соответственно в терминах направленностей описываются и непрерывные отображения, компактность и т.п.

ps там и хаусдорфовость не всегда нужна, иногда нужна иногда нет. детали лень вспоминать

[id]

Хаусдорфовость, как и для сходимости фильтров, там вроде как только для единственности предела используется.

[ShMaxG]

Такая задача: Найти пополнение метрического пространства, состоящего из непрерывных финитных на числовой оси функций с метрикой

$\[ \rho \left( {x,y} \right) = \mathop {\max }\limits_t \left| {x\left( t \right) - y\left( t \right)} \right| \]$.

Ну т.е. надо подобрать такое метрическое пространство $R^{*}$, чтобы оно было полным, включало в себя исх. пространство и совпадало с замыканием исх. пространства. Все мне известные пространства функций либо определены на фиксированном отрезке, либо на всей числовой оси, но метрика там - через интегралы и я не вижу, как все это соотнести.

Сейчас попробую с $L_1$ как-то связать...

-- Сб сен 12, 2009 18:20:55 --

Ну в общем, вот что я знаю:

1) $L_1$ - полное пространство.
2) $C_0L_1$ (норма $\[\left\| x \right\| = \int\limits_a^b {\left| {x\left( t \right)} \right|} dt\]$) плотно в $L_1$.
3) $\[ C_0 L_1 \subset L_1 \] $.

Это доказывает, что $L_1$ является пополнением $C_0L_1$, т.к. последний не является полным.

Но будет ли отсюда вытекать, что $L_1$ является пополнением и для моего пространства?

[id]

Вроде бы $C_0 (\mathbb{R})$ плотно в любом $L_p (\mathbb{R}), \ p\in[1,\infty)$

[ShMaxG]

id
$C_0$ - это которое мое множество? Или $C_0L_1$?

[id]

ShMaxG
$C_0 (\mathbb{R})$ - это финитные непрерывные с равномерной метрикой.

-- Сб сен 12, 2009 18:59:07 --

Быть может, исходное пополнение - это непрерывные стремящиеся к нулю на бесконечности с равномерной нормой?

-- Сб сен 12, 2009 19:07:03 --

Обозначения не шибко удачные я выбрал. Ваше исходное - это $C_{00} (\mathbb{R})$ ( финитные ), его пополнение - это $C_0 (\mathbb{R})$ ( т.е. непрерывные стремящиеся к $0$ ).

[ewert]

id в сообщении #242657 писал(а):

ShMaxG
$C_0 (\mathbb{R})$ - это финитные непрерывные с равномерной метрикой.

Оно, безусловно, плотно в любом эль-пэ. Но там вопрос по-другому ставился: есть ли это замыкание подмножества финитных функций?... -- И тоже есть, конечно, и совсем банально.

[ShMaxG]

id

Спасибо! Вроде получилось.

[id]

ewert
Эм, что-то не уверен, что до конца понимаю Ваше сообщение.
Нельзя ли чуть подробнее?

[ewert]

id в сообщении #242884 писал(а):

ewert
Эм, что-то не уверен, что до конца понимаю Ваше сообщение.
Нельзя ли чуть подробнее?

Я просто не понял вашу возню с $L_p$. При чём тут вообще интегральная метрика? Известно, что подпространство $C_0(\mathbb R)$ замкнуто относительно равномерной метрики (не то чтоб совсем очевидно -- для доказательства всё же требуется пара строчек -- но общеизвестно). И уж совсем очевидно, что финитные функции плотны в $C_0(\mathbb R)$. Вот и всё.