Уравнение x^a=4.

[Andrej-V]

Уравнение x^a=4. 1.Если считать x^a степенной функцией a - любое. С др. стороны a -

тоже неизвестная ничем не хуже x (можно ее обозначить у (она может фигурировать и в

ситеме уравнений с несколькими неизвестными)), а потому должно быть a>0;a!=1; ?

2.Решение уранения x=4^(1/a);a>0;a!=1 или следующее x=4^(1/a);a!=0; или следующее

[x=4^(1/a);a!=2n1; U [(x=4^(1/a);U x=-4^(1/a);) a=2n]]; n1,n - целые 3. x^a=-4 имеет

решение? (Если считать, что ф-я показательная можно написать [x=(-4)^(1/a);(a=2n+1; U

a- рациональное с нечетными числителем и знаменателем )]. 4. Ну и если считать

показательной, то ур-е x^a=b имеет одним из решений a=0;b=1; и массу других, зависящих

от b>0 или b<0 и от того какое a(четное,нечетное, рациональное с разными числителем и

знаменателем).
Показательная или степенная и почему?
В каком-нибудь учебнике это разъясняется?

[bot]

Andrej-V писал(а):

1.Если считать $x^a$ степенной функцией $a$ - любое. С др. стороны $a$ - тоже неизвестная ...
а потому должно быть $a>0, a \ne 1$ ?

Показательно-степенная функция $x^y$ двух переменных $x$ и $y$ считается определённой, если $0<x \ne 1, никаких ограничений на переменную $y$ не предполагается.

В этом случае функция обладает хорошими свойствами - она непрерывна как функция одной из переменных при любом фиксированном значении другой, а также и по совокупности переменных, монотонна по любой из переменных при фиксированной другой, а следовательно и обратима. Обратная функция также непрерывна.

Если отбросить ограничения, то возникают проблемы. К примеру, функцию $1^y$ можно считать определённой при любом $y$, но она неинтересна, в силу постоянства. Ещё хуже с функцией $0^y$ - она становится неопределённой при $y \le 0$ и совсем плохо с функцией с отрицательным основанием - её значение в области действительных чисел можно удовлетворительным образом определить лишь для избранных, притом рациональных значений переменной $y$

Если Вы знакомы с понятием предела на уровне выше школьного, то подробности можете найти, например в 1 томе Фихтенгольца. В противном случае просто примите к сведению.

[Andrej-V]

Спасибо. Т.о. получается что ур-е x^x=1 не имеет решения (из-за неинтересности x=1, x должен !=1)?

[Andrej-V]

и ур-е x^a=-8 не имеет решений (например x=-2;a=3;) ?

[Dan_Te]

Очевидно, оба уравнения имеют решения, вы их сами и указали. Более того, имеет смысл доопределить функцию $x^x$ единицей при х=0 (тогда эта функция будет непрерывна справа в нуле), и у уравнения $x^x=1$ будет уже два корня.

[Andrej-V]

Да, но те решения, которые я указал не находятся в области определения функции (x^x ; x^a;-- x!=1; x>0;). Все же как вы считаете при решении: x^x=1, нужно указывать x=1,
(а при решении x^a=4 -- [x=4^(1/a);a!=2n1; U [(x=4^(1/a);U x=-4^(1/a)]a=2n;n!=0;] или только x=4^(1/a)).
Имеется ввиду ситуация, когда невозможно добавить комментарии: например при тестировании или при напмсании программки решения элементарных уравнений?
Прошу прощения, что поспешил и сделал ошибки в первом послании.

[bot]

Давайте я просто выделю жирным шрифтом то, что уже писал:

1) Показательно-степенная функция $x^y$ двух переменных $x$ и $y$ считается определённой, если ...

2) Если отбросить ограничения, то возникают проблемы.

Поэтому, вообще говоря, нужно оговаривать, в каком смысле употребляется эта функция. Как правило, если особо не сказано, то понимается в первом, однако это не все поддерживают. Более того встречал задачи на вступительных экзаменах, в которых коварные составители ловят абитуриентов именно на пропусках решений, лежащих в расширенном дипазоне допустимых значений. Эти исключительные решения, как правило, очевидны, если только озадачиться их нахождением. На мой взгляд это нечестный приём - ловить на тонкостях понятия, к которого абитуриент ещё не готов.
Если школьникам просто сказать, что $0^0=1$ в контексте функции $x^x$, то контекста они не заметят и запросто перенесут это на функцию $x^y$.

[Andrej-V]

Доопределить ф-ю x^x так, что в (.) x=1 она == 1 -> true или разширить ее ОДЗ можно только определив новую ф-ю, которая равна x^x , x!=1 U 1 , x=1.
А как можно сконструировать ф-ю, которая равнялась бы показательно-степенной ф-ии x^y, на x>0 и которая давала бы решения при x<0 и y==2n,n!=0 n-целое (вот сейчас будет то, чего я не знаю как записать математически) сответствующие степенной ф-ии x^(2n) (последняя запись некорректна, т.к. формально определяет тоже показательно-степенную ф-ю). Т.е. помимо т. Геделя , невозможно и записать любую истину?