2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение x^a=4.
Сообщение21.06.2006, 05:14 


02/06/06
70
Уравнение x^a=4. 1.Если считать x^a степенной функцией a - любое. С др. стороны a -

тоже неизвестная ничем не хуже x (можно ее обозначить у (она может фигурировать и в

ситеме уравнений с несколькими неизвестными)), а потому должно быть a>0;a!=1; ?

2.Решение уранения x=4^(1/a);a>0;a!=1 или следующее x=4^(1/a);a!=0; или следующее

[x=4^(1/a);a!=2n1; U [(x=4^(1/a);U x=-4^(1/a);) a=2n]]; n1,n - целые 3. x^a=-4 имеет

решение? (Если считать, что ф-я показательная можно написать [x=(-4)^(1/a);(a=2n+1; U

a- рациональное с нечетными числителем и знаменателем )]. 4. Ну и если считать

показательной, то ур-е x^a=b имеет одним из решений a=0;b=1; и массу других, зависящих

от b>0 или b<0 и от того какое a(четное,нечетное, рациональное с разными числителем и

знаменателем).
Показательная или степенная и почему?
В каком-нибудь учебнике это разъясняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение x^a=4.
Сообщение21.06.2006, 13:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Andrej-V писал(а):
1.Если считать $x^a$ степенной функцией $a$ - любое. С др. стороны $a$ - тоже неизвестная ...
а потому должно быть $a>0, a \ne 1$ ?


Показательно-степенная функция $x^y$ двух переменных $x$ и $y$ считается определённой, если $0<x \ne 1, никаких ограничений на переменную $y$ не предполагается.

В этом случае функция обладает хорошими свойствами - она непрерывна как функция одной из переменных при любом фиксированном значении другой, а также и по совокупности переменных, монотонна по любой из переменных при фиксированной другой, а следовательно и обратима. Обратная функция также непрерывна.

Если отбросить ограничения, то возникают проблемы. К примеру, функцию $1^y$ можно считать определённой при любом $y$, но она неинтересна, в силу постоянства. Ещё хуже с функцией $0^y$ - она становится неопределённой при $y \le 0$ и совсем плохо с функцией с отрицательным основанием - её значение в области действительных чисел можно удовлетворительным образом определить лишь для избранных, притом рациональных значений переменной $y$

Если Вы знакомы с понятием предела на уровне выше школьного, то подробности можете найти, например в 1 томе Фихтенгольца. В противном случае просто примите к сведению.

 Профиль  
                  
 
 x^x не имеет решения?
Сообщение21.06.2006, 20:06 


02/06/06
70
Спасибо. Т.о. получается что ур-е x^x=1 не имеет решения (из-за неинтересности x=1, x должен !=1)?

 Профиль  
                  
 
 x^a=-8 не имеет решений ?
Сообщение21.06.2006, 20:24 


02/06/06
70
и ур-е x^a=-8 не имеет решений (например x=-2;a=3;) ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.06.2006, 21:33 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Очевидно, оба уравнения имеют решения, вы их сами и указали. Более того, имеет смысл доопределить функцию $x^x$ единицей при х=0 (тогда эта функция будет непрерывна справа в нуле), и у уравнения $x^x=1$ будет уже два корня.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2006, 03:51 


02/06/06
70
Да, но те решения, которые я указал не находятся в области определения функции (x^x ; x^a;-- x!=1; x>0;). Все же как вы считаете при решении: x^x=1, нужно указывать x=1,
(а при решении x^a=4 -- [x=4^(1/a);a!=2n1; U [(x=4^(1/a);U x=-4^(1/a)]a=2n;n!=0;] или только x=4^(1/a)).
Имеется ввиду ситуация, когда невозможно добавить комментарии: например при тестировании или при напмсании программки решения элементарных уравнений?
Прошу прощения, что поспешил и сделал ошибки в первом послании.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.06.2006, 15:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Давайте я просто выделю жирным шрифтом то, что уже писал:

1) Показательно-степенная функция $x^y$ двух переменных $x$ и $y$ считается определённой, если ...

2) Если отбросить ограничения, то возникают проблемы.

Поэтому, вообще говоря, нужно оговаривать, в каком смысле употребляется эта функция. Как правило, если особо не сказано, то понимается в первом, однако это не все поддерживают. Более того встречал задачи на вступительных экзаменах, в которых коварные составители ловят абитуриентов именно на пропусках решений, лежащих в расширенном дипазоне допустимых значений. Эти исключительные решения, как правило, очевидны, если только озадачиться их нахождением. На мой взгляд это нечестный приём - ловить на тонкостях понятия, к которого абитуриент ещё не готов.
Если школьникам просто сказать, что $0^0=1$ в контексте функции $x^x$, то контекста они не заметят и запросто перенесут это на функцию $x^y$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.06.2006, 07:07 


02/06/06
70
Доопределить ф-ю x^x так, что в (.) x=1 она == 1 -> true или разширить ее ОДЗ можно только определив новую ф-ю, которая равна x^x , x!=1 U 1 , x=1.
А как можно сконструировать ф-ю, которая равнялась бы показательно-степенной ф-ии x^y, на x>0 и которая давала бы решения при x<0 и y==2n,n!=0 n-целое (вот сейчас будет то, чего я не знаю как записать математически) сответствующие степенной ф-ии x^(2n) (последняя запись некорректна, т.к. формально определяет тоже показательно-степенную ф-ю). Т.е. помимо т. Геделя , невозможно и записать любую истину?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group