Геометрия-Пересечение цилиндров

[photon]

alekcey, замечание за обсуждение действий модератора в неподходящем разделе

[nn910]

alekcey в сообщении #241457 писал(а):

Видите, nn910, на каком форуме Вы находитесь.

Не только форум для людей,но и люди для форума. Я заряжал вчера поиск на"метод Драгилева" и просмотрев 40 первых так и не понял до конца.Первый раз в жизни.Обычно в Сети есть все. Теперь этот топик будет тоже высвечиваться среди первых 40,но понимания никому не прибавит.

[ewert]

AKM в сообщении #241429 писал(а):

Мой ответ не совпал с ответом ewertа

Ну я ж честно сказал, что не уверен. Я очень люблю ошибаться в арифметике. Но!

Во-первых, примерно такого типа интеграл и должен выйти, это железно.

Во-вторых, "мой" интеграл даёт заведомо правильный результат в двух предельных случаях -- когда отношение диаметров близко к нулю и когда оно равно единице.

В-третьих, тут вот vvvv посчитал независимым образом для соотношения 1:2, и у него получилось 9.591, а у меня типа 9.59173..., что вполне в пределах погрешности (его) метода.

Ну я как бы и безмятежен.

[vvvv]

Я также посчитал, предложенный Вами интеграл, вернее не я , а матпакет.Результат получил такой же.

[Gordmit]

Если цилиндры пересекаются под углом $\alpha$ и если я не ошибся, то интеграл выходит такой:

$$L=\frac{d}{2\sin\alpha}\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\frac{D^2-d^2\sin^4 t}{D^2-d^2\sin^2 t}-\frac{d\sin 2t}{\sqrt{D^2-d^2\sin^2 t}}\cos\alpha}\,dt.$$

[vvvv]

Завтра проверим

-- Ср сен 09, 2009 01:23:21 --

AKM в сообщении #241429 писал(а):

Мой ответ не совпал с ответом ewertа

ewert в сообщении #240120 писал(а):

$$ L={d\over2}\int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$

(если ничего не напутал).

Посему начал писать детали, дабы облегчить поиск (чьей-то) ошибки. При переписывании всё совпало. Но не пропадать же добру...
Оперирую с радиусами (хотя постановка задачи требует диаметров, как это сделал ewert).
Имеем две поверхности

$$\begin{array}{lccc} &x^2+y^2=R^2 &\quad\text{и}\quad & x^2+z^2=r^2;\\ \text{т.е.}\quad & \begin{cases}X=R\cos \varphi,\\Y=R\sin\varphi,\\Z=z;\end{cases}&& \begin{cases}X=r\cos \xi,\\ Y=y,\\ Z=r\sin\xi.\end{cases} \end{array} $$

Из $R\cos \varphi=r\cos \xi$ определяем зависимость $\varphi(\xi)$:

$$-R\sin \varphi(\xi)\varphi'_\xi=-r\sin \xi \quad\Longrightarrow\quad \varphi'_\xi=\dfrac{r\sin\xi}{R\sin\varphi(\xi)}$$

и параметризацию линии пересечения: Hack attempt!

Hack attempt!
Непонятно, зачем для решения типовой (ну, почти типовой, за исключением неберучести интеграла) задачки по ДГ привлекать Метод...
Интегралы не совпали, но значения их совпали.Проверил.

Батороев в сообщении #241422 писал(а):

(Или за формулами я не вижу того, что вы это же самое и делаете?)

Видимо, да. Т.е. без думания о развёртках, но наверняка то же можно в терминах развёртки записать.

[AKM]

AKM в сообщении #241429 писал(а):

Мой ответ не совпал с ответом ewertа ... Посему начал писать детали, дабы облегчить поиск (чьей-то) ошибки. При переписывании всё совпало. Но не пропадать же добру...

Ну, извините, ewert, что я сразу не выделил эту фразу всеми доступными способами.
(А то, что у меня косинусы под корнем случились, так это, очевидно, без разницы, $t_{ewert}={}^{\pi}\!/_{\!2}-\xi_{AKM}$, и я не стал даже заикаться).

[ewert]

AKM в сообщении #241656 писал(а):

А то, что у меня косинусы под корнем случились, так это, очевидно, без разницы

очевидно, что очевидно.

Меня просто интересовали в данном случае не формулки, а цифирки: совпадут -- не совпадут. Если совпадут -- то это с достаточной надёжностью свидетельствует об эквивалентности и формулок.

Ибо формулки можно какие угодно писать. Я почему предложил именно ту интегральную: потому, что она исключительно эффективно численно считается.

[vvvv]

Gordmit в сообщении #241618 писал(а):

Если цилиндры пересекаются под углом $\alpha$ и если я не ошибся, то интеграл выходит такой:

$$L=\frac{d}{2\sin\alpha}\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\frac{D^2-d^2\sin^4 t}{D^2-d^2\sin^2 t}-\frac{d\sin 2t}{\sqrt{D^2-d^2\sin^2 t}}\cos\alpha}\,dt.$$

Не получается. При альфа равном 45 градусов получается длина линии меньше чем при альфа 90 градусов. Должно быть -11.653,
а получается так:

[Moland]

ewert в сообщении #240120 писал(а):

$$ L={d\over2}\int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$

(если ничего не напутал).

Подынтегральная функция -- периодическая и бесконечно гладкая. Поэтому: если диаметры хоть сколько-то заметно различаются, то интеграл очень быстро считается по формуле прямоугольников. Например (навскидку): если они различаются ну хоть процентов на 20 -- для достижения 15 правильных значащих цифр достаточно будет взять не более сотни узлов.

Я пробовал этот интеграл закладывать в онлайн программы для рассчета численными методами http://www.webmath.ru/web/prog11_1.php. Интеграл расписал по правилам этой программы так Math.sqrt((1200*1200-110*110*Math.pow(Math.sin(x),4))/(1200*1200-110*110*Math.pow(Math.sin(x),2))) и для второго случая Math.sqrt((1000*1000-560*560*Math.pow(Math.sin(x),4))/(1000*1000-560*560*Math.pow(Math.sin(x),2))) т.е для диаметров D1=1200, d1=110 и D2=1000, d2=560. И у меня всегда получалось $$ 2\pi\; (т.е верхний предел интегрирования) вне зависимости от диаметров. Но может я что не правильно делаю или формулу не правильно записал или ещё что-то все таки в Вашем интеграле переменная t, я закладывал х. Но это все неважно.
На одном из форумов мне подсказали, что если D=d, то длина линии пересечения по заданным мною условиям будет равна длине эллипса с осями (не полуосями, а осями) D и $$ D\sqrt{2}\;, что и подтверждается рассчетом по приложенным инженерным формулам.
Подведя итог скажу, что Ваши инженерные формулы оказались для меня самыми полезными и я удовлетворен полностью результатом всего обсуждения по созданной мною теме. Огромное всем участникам обсуждения СПАСИБО.

[ewert]

Moland в сообщении #241863 писал(а):

если D=d, то длина линии пересечения по заданным мною условиям будет равна длине эллипса с осями (не полуосями, а осями) D и $$ D\sqrt{2}\;,

Это правда, конечно, и по очень простой причине. Если диаметры совпадают, то по соображениям симметрии линия пересечения расположена в некоторой плоскости, к которой оси наклонены под углом 45 градусов. А сечение цилиндра плоскостью -- это эллипс.

[AKM]

Moland в сообщении #241863 писал(а):

Я пробовал этот интеграл закладывать в онлайн программы для рассчета численными методами http://www.webmath.ru/web/prog11_1.php. Интеграл расписал по правилам этой программы так Math.sqrt((1200*1200-110*110*Math.pow(Math.sin(x),4))/(1200*1200-110*110*Math.pow(Math.sin(x),2))) И у меня всегда получалось $$ 2\pi\; (т.е верхний предел интегрирования) вне зависимости от диаметров.

Полагаю, Вы не забыли про множитель перед интегралом (просто в Вашей программе-формуле он отсутствует).

[Moland]

AKM в сообщении #241896 писал(а):

Полагаю, Вы не забыли про множитель перед интегралом (просто в Вашей программе-формуле он отсутствует).

Не забыл, но в любом случае получается после сокращений ПИ*d, т.е. длина окружности основания малого цилиндра, более того это верно когда D стремится к бесконечности, а d - к нулю. Так, что это правда что интеграл

$$ L={d\over2}\int_0^{2\pi}\sqrt{D^2-d^2\sin^4t\over D^2-d^2\sin^2t}\;dt$$

всегда равен $$ d/2*2\pi\; вне зависимости от D и d? Или в этой онлайн программе что-то не так? Но вроде она для функции x^2 верно считет это даже легко проверить вручную.

[Батороев]

Но если $d$ стремится к нулю, а интеграл - к $2\pi$, то $L$ стремится к нулю.
По-моему, все правильно.

[AKM]

$$\begin{array}{cccccc} (D,d):&(100,1)& (10,1)& (5,1) & (2,1) & (1,1)\\[6pt] \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{\dfrac{D^2-d^2\sin^4t}{ D^2-d^2\sin^2t}}\;dt\::& 6.283224579&6.287130199 &6.299184967 &6.394488914 & 7.640395578 & \\ & 2.0000125\pi& 2.0012557\pi& 2.0050929\pi& 2.0354290\pi& 2.4320134\pi \end{array} $$

Посчитано в Maple. Онлайн программу (пока?) не смотрел.