Носитель меры

[id]

Читал одну книгу, там "между прочим" использовалось след. утверждение:

Цитата:

Всякое непустое компактное совершенное множество на плоскости является носителем некоторой меры, определенной на борелевских множествах, для которой вес каждой точки равен 0.

( думаю, плоскость тут можно заменить на $\mathbb{R}^n$, но не знаю точно )
По определению множество $M$ называется носителем меры $\mu$, если для любого открытого $N$ верно $\mu(M \cap N) = 0 \Rightarrow M \cap N = \varnothing$.

И как бы это доказать?
Совершенно тривиальный пример отбивает желание использовать меру Лебега на плоскости ( в пересечении с ... ). Если вспомнить теорему о разложении меры на дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную, вроде как понятно, что использовать нужно сингулярную часть. Но вот как это сделать?
Не вполне понятно, как на произвольное $M$ из условия теоремы перенести построение лестницы Кантора.

[id]

Задачка, кстати, из "Гильбертово пр-во в задачах" Халмоша. Там это называется "стандартное упражнение по топологической теории меры".

[AGu]

Может, как-то так?

1. Всякое такое $M$ содержит копию $C$ канторова множества.
2. На $M$ существует безатомная борелевская мера $\mu_C$ с носителем $C$
   (так как такая мера существует на самом $C$).
3. Берем набор копий $C_n$ с плотным в $M$ объединением.
4. Складываем $\mu_{C_n}$ с суммируемыми весами.

[id]

Аа, очень хорошая идея! Пункты 2,4 верны, вроде бы.

Остаются лишь вопросы по п.1 и п.3.
Известно, что каждый непустой совершенный компакт содержит подмножество, дисконтиннууму гомеоморфное, и вообще всякий компакт есть непрерывный образ дисконтинуума; но как в это произвольное $M$ вписать ( причём как-то аффинно-линейно, чтобы с построением лестницы не мучиться ) кучу дисконтиуумов?

[AGu]

id в сообщении #241708 писал(а):

но как в это произвольное $M$ вписать ( причём как-то аффинно-линейно, чтобы с построением лестницы не мучиться ) кучу дисконтиуумов?

$M$ имеет счетную базу открытых множеств $G_n$. Вписываем по $C_n$ в каждое из $G_n$.

[id]

AGu
Но ведь для замкнутых множеств база по пересечениям замкнутых; да и то, что оно есть $G_{\delta}$ вроде никак тоже не помогает.
Если взять обычный ковер Серпинского - не совсем понятно, какая тут база открытых, ведь оно нигде не плотно. Не совсем ясно, что тогда есть база открытых для данного совершенного компакта.

[AGu]

Имеется в виду база внутри $M$.
В каждом $G_n$ есть совершенный компактик, а в нем уже есть $C_n$. Так ведь?

[id]

Если есть некоторое открытое $G_n$ - то да, в нем есть совершенный компактик, лежащий, например, в некотором открытом шарике.
Но я все же не понимаю, откуда возьмется хоть одно такое открытое мн-во внутри $M$; понятие "база внутри $M$" мне тоже незнакомо.

[AGu]

Рассматриваем $M$ как самостоятельное метрическое пространство. Оно сепарабельно. Берем в $M$ шарики с центрами в счетном всюду плотном подмножестве $M$ и рациональными радиусами. Вот и база.

[id]

А чем теперь ситуация отличается от исходной?
Ну, в плане аффинно-линейно вписать дисконтинуум в шарик.

[AGu]

А зачем именно аффинно? Разве не достаточно гомеоморфно? Борелевские множества ведь при этом перейдут в борелевские (и наоборот).

[id]

AGu
Так ведь меру же построить надо.
Как строится сингулярная мера для $\mathbb{R}$ так, что мера Канторова мн-ва равна 1, - ясно, для $\mathbb{R}^2$ и ковра Серпинского - аналогично, как и для похожих примеров в $\mathbb{R}^n$. А вот как ее построить для $\mathbb{R}^n$ и множества, гомеоморфного дисконтинууму?

Если, скажем, взять $\mu (A) := \mu_{\mathbb{R}^n} (f^{-1}(A))$, где последнее - мера, о которой говорил выше, и $f$ - исходный гомеоморфизм некоторой части $M$ на $n$-мерный дисконтиннум, то его, выходит, надо продолжить?

[AGu]

Зачем продолжать гомеоморфизм, если можно продолжить меру?
Если $\mu$ — безатомная борелевская мера на $C\subseteq M$ с носителем $C$, то $\bar\mu(A):=\mu(A\cap C)$ — безатомная борелевская мера на $M$ с носителем $C$. (См., собсно, пункт 2 в моем первом посте.)

[id]

Ага. Значит, имеем $\bar\mu (A) |_{\mathcal{P}(C)}:= \mu_{\mathbb{R}^n} (f^{-1}(A))$.
$\mu (A) |_{\mathcal{P}(M)}:=\bar\mu (A \cap C)$.

Ну а так как покрытие всюдо плотно в $M$, а $U$ из определения открыто, все вроде получается. Хитро, однако.

Спасибо!