Дополнение к уравнению окружности.

[Vadim Shlovikov]

В нынешнем уравнении окружности:
$(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
отсутствует коэффициент "$c$".
С учётом коэффициента "$c$" уравнение окружности запишется:
$(cx-a)^2+(cy-b)^2=c^2R^2$
или
$(c \cos\alpha-a)^2+(c \sin\alpha-b)^2=c^2$.

[gris]

В уравнении окружности каждый параметр имеет геометрический смысл. Это координаты центра окружности и её радиус, которые однозначно определяют окружность.
В Вашем уравнении параметр $c$ избыточен.

[Vadim Shlovikov]

gris в сообщении #241678 писал(а):

В уравнении окружности каждый параметр имеет геометрический смысл. Это координаты центра окружности и её радиус, которые однозначно определяют окружность.
В Вашем уравнении параметр $c$ избыточен.

А вот, например, $(c\cos\alpha-a)^2+(c\sin\alpha-b)^2=c^2$ или $ax^2+cx+b=0$ (имеется ввиду коэффициент $a$ при $x^2$ ). Как быть?

[gris]

Ваше квадратное уравнение задаёт на плоскости либо пустое множество, либо одну вертикальную прямую, либо две.
Первое уравнение непонятно в какой системе координат написано. Если это полярная система координат $(r;\alpha)$, то Ваше уравнение задаёт некое множество лучей, выходящих из начала координат.

[Vadim Shlovikov]

gris в сообщении #241680 писал(а):

Ваше квадратное уравнение задаёт на плоскости либо пустое множество, либо одну вертикальную прямую, либо две.
Первое уравнение непонятно в какой системе координат написано. Если это полярная система координат $(r;\alpha)$, то Ваше уравнение задаёт некое множество лучей, выходящих из начала координат.

Переход от полярных координат к декартовым:
$x=c\cos\alpha$ и $y=c\sin\alpha$ .

[TOTAL]

Vadim Shlovikov в сообщении #241679 писал(а):

А вот, например, $(c\cos\alpha-a)^2+(c\sin\alpha-b)^2=c^2$ или $ax^2+cx+b=0$ (имеется ввиду коэффициент $a$ при $x^2$ ). Как быть?

Чтобы что?

[Vadim Shlovikov]

TOTAL в сообщении #241683 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #241679 писал(а):

А вот, например, $(c\cos\alpha-a)^2+(c\sin\alpha-b)^2=c^2$ или $ax^2+cx+b=0$ (имеется ввиду коэффициент $a$ при $x^2$ ). Как быть?

Чтобы что?

Чтобы приняли коэффициент "$c$" как нужный.

[TOTAL]

Vadim Shlovikov в сообщении #241684 писал(а):

Чтобы приняли коэффициент "$c$" как нужный.

А для чего он нужен?

[Vadim Shlovikov]

TOTAL в сообщении #241685 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #241684 писал(а):

Чтобы приняли коэффициент "$c$" как нужный.

А для чего он нужен?

Для указания изменений величины радиуса.

[TOTAL]

Vadim Shlovikov в сообщении #241686 писал(а):

TOTAL в сообщении #241685 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #241684 писал(а):

Чтобы приняли коэффициент "$c$" как нужный.

А для чего он нужен?

Для указания изменений величины радиуса.

Любую окружность, которую можно задать с использованием коэффициента $c,$ можно задать и без этого коэффициента. Согласны?

[gris]

Vadim Shlovikov, Вы просто хотели записать уравнение окружности в полярных координатах $(c;\alpha)$!

Это надо было сделать так $(c\cos \alpha - a)^2 + (c\sin \alpha - b)^2 =R^2$

Уравнение же $(c\cos \alpha - a)^2 + (c\sin \alpha - b)^2 =c^2$ изображает другую кривую. Она очень красива при $a=b=0$

[Vadim Shlovikov]

TOTAL в сообщении #241687 писал(а):

Любую окружность, которую можно задать с использованием коэффициента можно задать и без этого коэффициента. Согласны?

Да, но коэффициент "$c$" необходим.

-- 09 сен 2009, 17:59 --

gris в сообщении #241693 писал(а):

Vadim Shlovikov, Вы просто хотели записать уравнение окружности в полярных координатах $(c;\alpha)$!

Это надо было сделать так $(c\cos \alpha - a)^2 + (c\sin \alpha - b)^2 =R^2$

Уравнение же $(c\cos \alpha - a)^2 + (c\sin \alpha - b)^2 =c^2$ изображает другую кривую. Она очень красива при $a=b=0$

Да, Вы правы, но $R$- не радиус.

[gris]

$R$ это половина ширины окружности или её полуось, если хотите.

[Vadim Shlovikov]

gris в сообщении #241740 писал(а):

$R$ это половина ширины окружности или её полуось, если хотите.

Но не в уравнениях:
$(cx-a)^2+(cy-b)^2=g^2$
или
$(c\cos\alpha-a)^2+(c\sin\alpha-b)^2=m^2$ .
Здесь "$m$" и "$g$" вместо $R$, чтобы не путать с радиусом окружности.

[gris]

В первом уравнении параметр $c$ определяет масштаб отображения или сжатие плоскости. Фактический центр окружности будет в точке $(\frac ac;\frac bc)$ а её радиус $\frac gm$.

Во втором уравнении, судя по упомянутым Вами формулам перехода к полярным координатам, $c$ представляет собой расстояние от начала координат до координируемой точки и не является константой. В полярных координатах $(c;\alpha)$ это действительно является уравнением окружности радиуса $m$. Тут с Вами не поспоришь.