конформное отображение

[gepa]

есть область $x>0$ и $ y<0$
и надо найти ее образ под действием функции $w= \frac {z^2-i} {z^2+i}$

как я понимаю исходная область переходит в окружность с центром в начале координат и радиусом =1
т.к. если мы возьмем три точки исходной области (0, 1, и -i) то они перейдут соответственно в (-1, -i и i),
а |-1|=|-i|=|i|=1
но если мы будем брать другие точки - к примеру (1-i) то эта точка перейдет в точку 3
в связи с этим возникает вопрос - получается наша функция отображает исходную область в в окружность и область x>0 ?

-- Вт сен 08, 2009 14:53:47 --

и еще вопрос где можно подробно прочитать про отображения (а именно практикум решения таких задач)

[gris]

Каратеодори "Конформное отображение" Книжка старинная, но очень подробно и доходчиво написано с массой примеров и задач.

[jetyb]

В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.

Насчет перехода окружности - это я чушь сказал

[gepa]

jetyb в сообщении #241479 писал(а):

В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,-i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.

а как посмотреть переход линий?

gris в сообщении #241478 писал(а):

Каратеодори "Конформное отображение" Книжка старинная, но очень подробно и доходчиво написано с массой примеров и задач.

спасибо

[jetyb]

Функция $\omega$ является композицей возведения в квадрат и дробно-линейной функции. Остается посмотреть, куда эти функции переносят граничные линии.

gepa в сообщении #241475 писал(а):

но если мы будем брать другие точки - к примеру (1-i) то эта точка перейдет в точку 3
в связи с этим возникает вопрос - получается наша функция отображает исходную область в в окружность и область x>0 ?

А в чем проблема? И причем здесь область $x>0$? Область переходит в комплексную плоскость без круга.

[gepa]

gepa в сообщении #241483 писал(а):

jetyb в сообщении #241479 писал(а):

В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,-i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.

а как посмотреть переход линий?

[jetyb]

Просто. Дробно-линейная функция окружность(или прямую, что есть окружность бесконечного радиуса) переносит в окружность(или прямую), а окружность на плоскости задается тремя точками.

[AKM]

gepa в сообщении #241475 писал(а):

и надо найти ее образ под действием функции $w= \frac {z^2-i} {z^2+i}$

jetyb, но упомянутая функция дробно-НЕлинейная.

[jetyb]

Я уже писал, что она является композицией возведения в квадрат и дробно-линейной функции.