2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 13:53 
есть область $x>0$ и $ y<0$
и надо найти ее образ под действием функции $w= \frac {z^2-i} {z^2+i}$

как я понимаю исходная область переходит в окружность с центром в начале координат и радиусом =1
т.к. если мы возьмем три точки исходной области (0, 1, и -i) то они перейдут соответственно в (-1, -i и i),
а |-1|=|-i|=|i|=1
но если мы будем брать другие точки - к примеру (1-i) то эта точка перейдет в точку 3
в связи с этим возникает вопрос - получается наша функция отображает исходную область в в окружность и область x>0 ?

-- Вт сен 08, 2009 14:53:47 --

и еще вопрос где можно подробно прочитать про отображения (а именно практикум решения таких задач)

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 14:05 
Аватара пользователя
Каратеодори "Конформное отображение" Книжка старинная, но очень подробно и доходчиво написано с массой примеров и задач.

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 14:08 
В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.

Насчет перехода окружности - это я чушь сказал

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 14:18 
jetyb в сообщении #241479 писал(а):
В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,-i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.

а как посмотреть переход линий?

gris в сообщении #241478 писал(а):
Каратеодори "Конформное отображение" Книжка старинная, но очень подробно и доходчиво написано с массой примеров и задач.

спасибо

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 14:32 
Функция $\omega$ является композицей возведения в квадрат и дробно-линейной функции. Остается посмотреть, куда эти функции переносят граничные линии.
gepa в сообщении #241475 писал(а):
но если мы будем брать другие точки - к примеру (1-i) то эта точка перейдет в точку 3
в связи с этим возникает вопрос - получается наша функция отображает исходную область в в окружность и область x>0 ?

А в чем проблема? И причем здесь область $x>0$? Область переходит в комплексную плоскость без круга.

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 17:17 
gepa в сообщении #241483 писал(а):
jetyb в сообщении #241479 писал(а):
В окружность с центром в начале координат и радиусом 1 переходит проходящая через точки $(0,1,-i)$ окружность. Посмотрите куда переходят ограничивающие область линии.
а как посмотреть переход линий?

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 17:24 
Просто. Дробно-линейная функция окружность(или прямую, что есть окружность бесконечного радиуса) переносит в окружность(или прямую), а окружность на плоскости задается тремя точками.

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 21:15 
Аватара пользователя
gepa в сообщении #241475 писал(а):
и надо найти ее образ под действием функции $w= \frac {z^2-i} {z^2+i}$
jetyb, но упомянутая функция дробно-НЕлинейная.

 
 
 
 Re: конформное отображение
Сообщение08.09.2009, 21:17 
Я уже писал, что она является композицией возведения в квадрат и дробно-линейной функции.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group