разложение в ряд th(х) в окрестности бесконечности

[voxdeserti]

Что-то не соображу, как можно разложить в степенной ряд функцию th(х) в окрестности плюс бесконечности, ведь она имеет в ней конечный предел, равный единице. Помогите, буду признателен!

[Руст]

Речь идёт, по видимому, о разложении: $\th x=1-2e^{-2x}(1-e^{-2x}+e^{4x}-...)$

[voxdeserti]

в какой литературе можно найти это разложение?

[незваный гость]

Под разложением в степенной ряд в окрестности бесконечности обычно разумеют разложение по отрицательным степеням переменной. Оно обычно имеет смысл именно тогда, когда функция имеет конечный предел. (Например, $\frac{\Gamma(x)}{\sqrt{\frac{2\pi}{x}}(\frac{x}{\rm e})^x} = 1 + \frac1{12}x^{-1} + \frac{1}{288}x^{-2} + {\rm O}(x^{-3})$.)

Но в данном случае этот номер не проходит, поскольку ${\rm e}^x$ убывает заметно быстрее любой степени $x^{-n}$.

[voxdeserti]

очень хотелось бы представить гипертангенс (х), как ряд по степеням 1/х при стремлении (х) к плюс бесконечности

[voxdeserti]

а если нельзя разложить по отрицательным степеням аргумента, то тогда по каким функциям его возможно разложить и возможно ли вообще?

[bot]

voxdeserti писал(а):

в какой литературе можно найти это разложение?

А ни в какой - это просто по геометрической прогрессии:

$$th x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = 1 - 2e^{-2x} \cdot \frac{1}{1 + e^{-2x}} = $$

$$1 + 2q \cdot \frac{1}{1 - q} = 1 + 2q \cdot (1 + q + q^2 + q^3 + ... )$$

Здесь$q = - e^{-2x} $

незванный гость писал(а):

Под разложением в степенной ряд в окрестности бесконечности обычно разумеют разложение по отрицательным степеням переменной.

Тоже об этом было подумал, но не выходит - одни нули после 1 пойдут. Видимо Руст верно угадал, что имеется в виду.

[voxdeserti]

буду дальше грызть (про геом прогрессию чего то немного тормознул - ну бывает)