Как элементарно доказать, что 3 не сумма 2 квадратов

[grisania]

Как элементарно доказать, что 3 не сумма 2 квадратов? То есть не привлекая знаменитую теорему Ферма, что 3 не представлеятся в виде $4k+1$.

[ewert]

элементарно -- перебором

[gris]

3 это куб, что ли? Но куб представляется в таком виде... Например, 125. Ежели это тройка, то...
Батенька, Вам надобно в постелю. Поздно уже.

[iig]

Успокойтесь, даже в комплексных простых числах не проходит и в целых кватернионах.

[gris]

Как это в комплексных не проходит?
$3=2^2+i^2$
$i$ разве не простое?

[Droog_Andrey]

gris в сообщении #241070 писал(а):

$i$ разве не простое?

Не простое. Это единица.

См. http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html

[grisania]

ewert в сообщении #241066 писал(а):

элементарно -- перебором

Наверно только перебором. Я удивляюсь ещё больше теорией чисел

[worm2]

Можно ещё проверить делимостью на 4: квадрат целого числа при делении на 4 может давать только 2 остатка: 0 и 1. Соответственно, сумма двух квадратов - только 0, 1 или 2. А 3 имеет остаток 3.

-- Пн сен 07, 2009 17:19:22 --

Или это и есть "знаменитая теорема Ферма..." ?

[iig]

gris в сообщении #241070 писал(а):

Как это в комплексных не проходит?
$3=2^2+i^2$
$i$ разве не простое?

Вы правы, на собразил.

[Droog_Andrey]

Ещё раз: комплексная единица относится не к множеству простых и не к множеству составных, а к множеству единиц.

[gris]

Droog_Andrey, единица, как и ноль, только одна. Это совсем недавно было сказано в другом месте.

[Droog_Andrey]

gris, http://mathworld.wolfram.com/Unit.html

[gris]

А при чём здесь unit? Единица это identity. Надо почитать, впрочем.

[Droog_Andrey]

Identity это тождество.

[iig]

gris в сообщении #241336 писал(а):

Droog_Andrey, единица, как и ноль, только одна. Это совсем недавно было сказано в другом месте.

Единица в арифметике действительно одна по определению, когда количество.
При перечислении имеет смысл "первый" и тут тоже одна в силу биекции чисел и объектов.
Также может иметь ранговый смысл на упорядоченним множестве- перворазрядник или первые из первых, оценка, сорт .
А вот при арифметических операциях совсем другой смысл.
В алгебре единица не должна менять результат умножения (как и ноль при сложении), и тут их может быть много или разных, например, правая и левая в квазигруппах.
Но такие абстракции на практике не попадаются, поэтому мало кто знает, но все-таки доказывать или делать аксиомой единственность необходимо.