Окружность, ортогональная двух заданным

[_v_l]

Добрый день.

Рассмотрим такую задачу: даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом. Найти третью окружность, которая пересекает под прямым углом заданные.

Пример:
Имеются две окружности: $(x-r_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}$ и $(x-r_{2})^{2}+y^{2}=r_{2}^{2}$, где $r_{1}<r_{2}$. Возьмём произвольную точку на первой окружности $A$. Очевидно, что эта точка определяет единственным образом в верхней полуплоскости точку на второй окружности $B$: через эти точки проходит единственная окружность, перпендикулярно к двум данным. Вопрос: как определить радиус этой окружности и её центр.

Бьюсь об заклад, что это классическая задача, но не могу вспомнить какая.

На первый взгляд (не проверял), утверждение о существовании остаётся справедливым если одна из окружностей находится целиком внутри другой. Есть соображения относительно случая пересекающихся окружностей и случая, когда одна из окружностей лежит во внешней части второй.

P.S. Задача как таковая интересна из любопытства, для дела нужно знать радиус и центр третьей окружности по двум известным радиусам и точке на одной из окружностей.

[gris]

_v_l писал(а):

даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом. Найти третью окружность, которая пересекает под прямым углом заданные.

Любая окружность, центр которой лежит на общей касательной к первым двум и проходящая через точку касания, будет удовлетворять этой постановке задачи. Но Вы имели в виду что-то другое, мне кажется.

Я Вас помню по интегральному синусу

[nn910]

Пусть О-точка касания окружностей, А-точка через которую нужно проводить искомую окружность. Применим инверсию относительно центра О и радиуса АО. Данные окружности перейдут в прямые, точка А останется на месте. Инверсия=конформное преобразование Х симметрию, сохраняет углы.В инверсной картинке нужна кривая-перпендикуляр к данным двум параллельным прямым в данной на одной из них точке.Таких окружностей не бывает,сл-но это прямая. Тогда ее прообраз- окружность проходящая через О. Итак: всякая окружность перпендикулярная к двум данным касающимся, проходит через точку касания.

[_v_l]

gris в сообщении #240970 писал(а):

Любая окружность, центр которой лежит на общей касательной к первым двум и проходящая через точку касания, будет удовлетворять этой постановке задачи. Но Вы имели в виду что-то другое, мне кажется.

То что такая окружность существует я понял, доказательства у меня нет, но есть соображения, их пока достаточно. А имел я в виду: как найти радиус такой окружности и её центр.

_v_l в сообщении #240968 писал(а):

Вопрос: как определить радиус этой окружности и её центр.

nn910 в сообщении #240978 писал(а):

Пусть О-точка касания окружностей, А-точка через которую нужно проводить искомую окружность. Применим инверсию относительно центра О и радиуса АО. Данные окружности перейдут в прямые, точка А останется на месте. Инверсия=конформное преобразование Х симметрию, сохраняет углы.В инверсной картинке нужна кривая-перпендикуляр к данным двум параллельным прямым в данной на одной из них точке.Таких окружностей не бывает,сл-но это прямая. Тогда ее прообраз- окружность проходящая через О. Итак: всякая окружность перпендикулярная к двум данным касающимся, проходит через точку касания.

Интересно, спасибо за рассуждения. Как только приду к практической цели задачи (радиус и центр окружности) воспользуюсь вашей идеей для доказательства.

Однако вопрос остался открытым: как выразить радиус и центр окружности, зная две данные (они указаны в исходном посте).
Я думал что задача старая и давно решённая, так что найти ответ пара пустяков.

По ходу работы возникла другая задача: какую кривую описывает центр третьей окружности, когда точка $A$ перемещается по первой окружности против хода часовой стрелки от точки $(2r_{1},0)$ к точке $(0,0)$.

gris в сообщении #240970 писал(а):

Я Вас помню по интегральному синусу

Извините, я что-то не припоминаю, чтобы я рассуждал по поводу интегрального синуса, хотя ...

[nn910]

_v_l в сообщении #241090 писал(а):

Вопрос: как определить радиус этой окружности и её центр.

$\setlength{\unitlength}{1pt}\begin{picture}(20,40)(0,20) \put(20,0){\circle{40}} \put(16,0){\circle{32}} \put(0,10){\circle{24}} \put(4,4) A \put(-9,-9) O \put(-9,9) D \put(14,0) B} \end{picture}$Как справедливо отметил gris, центр искомой окружности на общей касательной. Как случайно догадался nn910 искомая сама проходит через точку касания О и на основании этих двух фактов- перпендикулярна остальным. Поэтому из треугольника DОВ $r=r_1 tg\dfrac{ABO}{2}$ где r искомый радиус,$r_1$ и В -радиус и центр первой данной,А -данная точка. Координаты центра D (0,r). ГМТ D - полуось Y>0

[gris]

До меня только что докатило, что окружности должны пересекаться под прямым углом во всех трёх точках папарного пересечения, а не только в точке касания первых двух.
Но тогда мы не можем произвольно выбрать точку $A$.
Или это не так?

[nn910]

gris в сообщении #241114 писал(а):

До меня только что докатило, что окружности должны пересекаться под прямым углом во всех трёх точках папарного пересечения, а не только в точке касания первых двух.
Но тогда мы не можем произвольно выбрать точку $A$.
Или это не так?

Если окружности перпендикулярны в одной своей общей точке, то и в другой (это и планиметрией можно,без инверсий). Поэтому выбрав окружность перпендикулярную к двум данным в точке их касания,гарантируем остальные 2 перпендикулярности.

[gris]

Точно

[_v_l]

nn910 в сообщении #241111 писал(а):

Как справедливо отметил gris, центр искомой окружности на общей касательной. Как случайно догадался nn910 искомая сама проходит через точку касания О и на основании этих двух фактов- перпендикулярна остальным.

Если задча и не классическая, то элементарная . Однако, пора опять в школу, раз такую задачу не смог решить. Кстати, "Доказать что окружности $(x-r_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^2$ и $x^{2}+(y-r_{2})^{2}=r_{2}^{2}$ пересекаются под прямым углом" это задача первого курса по мат. анализу .

Всем спасибо, особенно за интересные идеи.