Доверительный интервал для мат. ожидания

[AndreyXYZ]

Здравствуйте!
Мне дана выборка значений некоторой случайной величины. Распределение данной случайной величины неизвестно (больше всего похоже на геометрическое).
1) Существуют ли способы указать доверительный интервал для мат. ожидания случайной величины, если её распределение неизвестно?
2) Как найти доверительный интервал или указать погрешность в определении мат. ожидания для случайной величины, имеющей геометрическое распределение?
Я знаком лишь со способом построения доверительного интервала для нормального распределения.

[ewert]

AndreyXYZ в сообщении #240999 писал(а):

1) Существуют ли способы указать доверительный интервал для мат. ожидания случайной величины, если её распределение неизвестно?

Нет. Более того: даже само понятие доверительного интервала для асимметричных распределений однозначно не определено. "Тут и в прессе есть расхождения, // И вообще идут толки разные..." $\copyright$

[AndreyXYZ]

ewert в сообщении #241001 писал(а):

AndreyXYZ в сообщении #240999 писал(а):

1) Существуют ли способы указать доверительный интервал для мат. ожидания случайной величины, если её распределение неизвестно?

Нет. Более того: даже само понятие доверительного интервала для асимметричных распределений однозначно не определено. "Тут и в прессе есть расхождения, // И вообще идут толки разные..." $\copyright$

Да, я понимаю, что интервал можно выбрать по-разному. Пусть я хочу выбрать его так, чтобы вероятности попадания истинного значения мат. ожидания в левую и правую части отрезка относительно среднего значения выборки были одинаковы и равны $\alpha/2$. Как я должен действовать в таком случае?

[ewert]

Честно -- не знаю. Как-то считать. Специально для геометрического распределения. Или посмотреть в какой-нибудь книжке; авось где чего да найдётся. Общих формул на сей счёт нет.

Впрочем, можно пытаться найти асимптотический доверительный интервал (только которым обычно и интересуются). Тогда это легко. На основании центральной предельной теоремы.

[PAV]

Методы существуют, называется это все обычно непараметрической статистикой. Правда, обычно какие-то предположения относительно распределений нужно сделать. Например, посмотрите лекцию здесь, раздел 3.2. Там описан доверительный интервал для математического ожидания в предположении, что распределение наблюдений симметрично относительно своего математического ожидания. Метод такой: строится вариационный ряд из попарных полусумм наблюдений; медиана этого ряда - точечная оценка искомого математического ожидания, а доверительный интервал можно получить, если отсчитать с начала и с конца этого вариационного ряда определенное число наблюдений, определяемое соответствующей квантилью знаково-рангового распределения Уилкоксона. Таблицы можно найти на том же сайте.

Тема переносится в раздел "Помогите решить/разобраться".

[AndreyXYZ]

ewert в сообщении #241038 писал(а):

Честно -- не знаю. Как-то считать. Специально для геометрического распределения. Или посмотреть в какой-нибудь книжке; авось где чего да найдётся. Общих формул на сей счёт нет.

Впрочем, можно пытаться найти асимптотический доверительный интервал (только которым обычно и интересуются). Тогда это легко. На основании центральной предельной теоремы.

Чем асимптотический доверительный интервал отличается от обычного и чем он хуже? Он предполагает, что дисперсия известна?

PAV в сообщении #241045 писал(а):

Методы существуют, называется это все обычно непараметрической статистикой. Правда, обычно какие-то предположения относительно распределений нужно сделать. Например, посмотрите лекцию здесь, раздел 3.2. Там описан доверительный интервал для математического ожидания в предположении, что распределение наблюдений симметрично относительно своего математического ожидания. Метод такой: строится вариационный ряд из попарных полусумм наблюдений; медиана этого ряда - точечная оценка искомого математического ожидания, а доверительный интервал можно получить, если отсчитать с начала и с конца этого вариационного ряда определенное число наблюдений, определяемое соответствующей квантилью знаково-рангового распределения Уилкоксона. Таблицы можно найти на том же сайте.

Тема переносится в раздел "Помогите решить/разобраться".

Моё распределение не является симметричным и мне не требуются столь точные оценки. Пусть я получил значение мат. ожидания, равное 1. Мне нужно ответить на вопрос, насколько это значение точно. Можно ли утверждать, что мат. ожидание больше нуля, или же требуются дополнительные измерения (критерий Неймана-Пирсона мне не подойдет). Вы можете предложить мне более простое решение, чем детальное исследование распределения?

[ewert]

AndreyXYZ в сообщении #241059 писал(а):

Чем асимптотический доверительный интервал отличается от обычного и чем он хуже? Он предполагает, что дисперсия известна?

Нет, не предполагает. Используется выборочная дисперсия. Он просто основан на том факте, что выборочное среднее распределено асимптотически нормально (и что выборочная дисперсия является состоятельной оценкой истинной).

[AndreyXYZ]

ewert в сообщении #241062 писал(а):

AndreyXYZ в сообщении #241059 писал(а):

Чем асимптотический доверительный интервал отличается от обычного и чем он хуже? Он предполагает, что дисперсия известна?

Нет, не предполагает. Используется выборочная дисперсия. Он просто основан на том факте, что выборочное среднее распределено асимптотически нормально (и что выборочная дисперсия является состоятельной оценкой истинной).

Но ведь выборочное среднее всегда распределено нормально. Разве нет?
Я правильно понял, что асимптотический интервал для любого распределения имеет следующий вид:

$$\Big[\overline X-\frac {\sigma} {\sqrt n} t_{1+\alpha/2},\overline X+\frac {\sigma} {\sqrt n} t_{1+\alpha/2}\Big],$$

где $\sigma^2$ --- выборочная дисперсия?

[ewert]

AndreyXYZ в сообщении #241074 писал(а):

Но ведь выборочное среднее всегда распределено нормально. Разве нет?

Нет, конечно. Но оно всегда распределено асимптотически нормально -- по мере роста объёма выборки.

AndreyXYZ в сообщении #241074 писал(а):

Я правильно понял, что асимптотический интервал для любого распределения имеет следующий вид:

В принципе -- правильно, если под $t$ иметь в виду квантили нормального распределения, а не Стьюдента (которые так традиционно обозначаются, но специфического отношения к асимптотике не имеют).

[AndreyXYZ]

Спасибо! А насколько велика может быть ошибка, если пользоваться этой формулой для оценки мат. ожидания случайной величины с неизвестной дисперсией?

У меня есть еще один вопрос. Как найти асимптотический доверительный интервал для значения корреляции двух случайных величин?