Закон всемирного тяготения

[ewert]

1). Сила взаимодействия двух тел является центростремительной, т.е. направлена по линии, соединяющей эти тела. Это и само по себе выглядит достаточно естественным (из соображений симметрии), но может быть и выведено из 2-го закона Кеплера (о равенстве зачерчиваемых площадей). Ньютон, кстати, это проделывал.

2). Сила взаимодействия не зависит от направления, в котором расположена линия взаимодействия. Аналогично: следует формально из 2-го закона Кеплера, но ещё существеннее, что это -- общий принцип изотропности пространства.

3). Таким образом, сила зависит лишь от расстояния. Почему именно обратно-квадратично? -- это однозначно следует из 2-го закона Ньютона (пропорциональности силы ускорению), формулы для центростремительного ускорения и 3-го закона Кеплера для круговых орбит (пропорциональность квадратов периодов кубам радиусов), причём последний факт -- сугубо эмпирический. Не будь его, не было бы и квадратичности.

4). Сила пропорциональна (при прочих равных условиях) массе притягиваемого тела. Снова чисто эмпирический факт: на опыте наблюдается, что ускорение свободного падения не зависит от массы (во всяком случае, в поле тяготения Земли, а дальше -- обычная экстраполяция).

5). Сила пропорциональна (при прочих равных условиях) массе притягивающего тела. Следует из 3-го закона Ньютона (действие равно противодействию).

Вот и весь закон, в полном объёме.

[Munin]

1 и 2 - из 1 и 2 законов Кеплера (существенно то, что орбита плоская, и центр притяжения лежит в её плоскости).

3 - это следует и для некруговых орбит, из более сложной формулы для центростремительного + тангенциального ускорения.

Спасибо за ваше изложение. Я искал, в каком учебнике перечислены как раз все эти пункты, но не нашёл.

[ewert]

Munin в сообщении #237270 писал(а):

Спасибо за ваше изложение.

Изложение вполне дилетантское, и, во всяком случае, в п.п. 1,2 наблюдается некоторый логический круг. Но это неважно: соображения симметрии -- гораздо принципиальнее и уж всяко всеми подразумевались, так что исторически примерно так всё и было, а дальше этот закон (коль уж скоро сочинён) был просто возведён в ранг постулата. И работал ровно до тех пор, пока не начал противоречить экспериментальным данным. Как всегда в физике и происходит.

[gris]

А обратно-квадратичная зависимость не связана с трёхмерностью пространства? Как у кулоновской силы. Ну типа обратно пропорциональна площади сферы?

[Munin]

ewert в сообщении #237273 писал(а):

Изложение вполне дилетантское, и, во всяком случае, в п.п. 1,2 наблюдается некоторый логический круг.

Та нi. Из первых двух законов Кеплера можно построить вектор ускорения в каждой точке орбиты, и убедиться, что он направлен к центральному телу. Поскольку орбиту можно повернуть как угодно, переведя любую её точку в другую равноудалённую от центрального тела, поле ускорений оказывается сферически-симметричным. Вроде, никакого круга нет.

gris в сообщении #237276 писал(а):

А обратно-квадратичная зависимость не связана с трёхмерностью пространства? Как у кулоновской силы. Ну типа обратно пропорциональна площади сферы?

Связана. По сути, закон обратно-квадратичной силы - это решение уравнения Пуассона $\Delta\varphi=4\pi\rho,$ такого же, как в электростатике. Но к природе это пока имеет мало отношения, а когда выясняется, что $\varphi$ имеет реальный физический смысл динамических переменных гравитационного поля - тогда оказывается, что физический смысл тут заложен. А оно имеет - потому что существуют эффекты излучения гравитационных волн (см. Hulse-Taylor pulsar).

[Утундрий]

Аналогично, размышлял когда-то, как бы сабдж покороче вывести. Получилось примерно следующее...

Наблюдение 1 Орбиты плоские
$\Rightarrow$
$\vec r \sim r \cdot e^{i\theta }$, $\dot \vec r \sim \left( {\dot r + ir\dot \theta } \right) \cdot e^{i\theta } $, $\ddot \vec r \sim \left( {\ddot r - r\dot \theta ^2 } \right) \cdot e^{i\theta } + \frac{{\dot \mu }}{r} \cdot ie^{i\theta } $, где $\mu \equiv r^2 \dot \theta $.
Наблюдение 2 Закон площадей
$\Rightarrow$
$\dot \mu = 0$, $\ddot \vec r \sim \left( {\ddot r - \frac{{\mu ^2 }}{{r^3 }}} \right) \cdot e^{i\theta }$, $\ddot \vec r = \left( {\ddot r - \frac{{\mu ^2 }}{{r^3 }}} \right)\frac{{\vec r}}{r}$
Наблюдение 3 Орбиты - эллипсы
$\Rightarrow$
$r = \frac{p}{{1 + \varepsilon \cos \theta }}$, $\dot r = \frac{{\varepsilon \mu }}{p}\sin \theta $, $\ddot r = \frac{{\mu ^2 }}{{r^3 }} - \frac{{\mu ^2 }}{p}\frac{1}{{r^2 }}$, $\ddot \vec r = - \frac{{\mu ^2 }}{p}\frac{{\vec r}}{{r^3 }}$
Наблюдение 4 Квадраты периодов пропорциональны кубам больших полуосей.
$\Rightarrow$
$\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {S = \frac{1} {2}r^2 \dot \theta \cdot T = \frac{\mu } {2}T} \\ {S = \pi a^2 \sqrt {1 - \varepsilon ^2 } } \\ \end{array} } \right. \]$
$\Rightarrow$
$T ^2 \propto \frac{{a\left( {1 - \varepsilon ^2 } \right)}}{{\mu ^2 }} \cdot a^3 $, $\frac{p}{{\mu ^2 }} \equiv const$
Так что

$$\ddot \vec r = - \left| {const} \right|\frac{{\vec r}}{{r^3 }}$$

Где-то так...

[Munin]

Боюсь, вашу нотацию

Утундрий в сообщении #238531 писал(а):

$\vec r \sim r \cdot e^{i\theta }$

я без пояснений не понимаю.

[ewert]

Комплексное описание вектора на плоскости.
Подразумевается, что $r$ и $\theta$ зависят от $t$.

[Munin]

А разве у нас векторы на плоскости???

[ewert]

Ну это отдельный вопрос, почему они на плоскости. В одну сторону -- это доказывается, а в другую -- подразумевается 1-м законом Кеплера.

[Munin]

Когда он отдельный, то нет вопросов...

[iig]

Во времена Ньютона исходили из того, что тела излучали "флюиды" притяжения,
а поскольку пространство трехмерно, то плотность этих флюидов на сфере уменьшается как увеличивается площадь сферы.
В наше время это формулируется как нулевая дивергенция вектора поля в отсутствии источников поля.
Тоже самое относится к закону Кулона.

[Munin]

iig в сообщении #241042 писал(а):

Во времена Ньютона исходили из того, что тела излучали "флюиды" притяжения

Увы, не во времена Ньютона, а сильно позже.

[iig]

Munin в сообщении #241189 писал(а):

iig в сообщении #241042 писал(а):

Во времена Ньютона исходили из того, что тела излучали "флюиды" притяжения

Увы, не во времена Ньютона, а сильно позже.

Не надо намекать на альтов, человек хочет понять и для начала мне подобное подходило, а дальше пусть сам выбирает.
Это то же самое в термодинамике с теплородом - полезно для понимания вначале, кто не зациклится на этом, пойдет дальше, остальные отсеятся.
Тоже самое с СТО, дальше близнецов или преобразований Галилея не могут понять, что преобразования Лоренца всего лишь поворот в пространстве Минковского и слишком заняты физикой, а это только математика, но немного отличается от обычных вращений, которые в школе проходили.
Ну что тут поделать, если время отличается от пространства (в метрике), вот и приходится выпендриваться, а простым людям это непонятно.
Как попроще объяснить не знаю, да и незачем - для этого надо знать математику не на школьном уровне, как минимум теорию матриц или линейную алгебру, хотя бы их начала.
После этого могут подготовиться понятия для восприятия.
Без этого бесполезно адекватно общаться - то же самое, что кошке логически обосновать, где не гадить, тут проще уговорить, но бить нельзя! испугается и не поймет.

[Munin]

iig в сообщении #241331 писал(а):

Не надо намекать на альтов

Я этого и не делал. Констатировал факт из истории науки. Ньютон о связи своего закона с площадью сферы не догадывался.