2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 верхний предел
Сообщение16.06.2006, 23:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Для последовательности положительных чисел $a_n$ определим числа $b_n=\frac{a_1+a_2+....+a_n+a_{n+1}}{a_n}.$ Доказать, что верхний предел от $\lim_n b_n\ge 4.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 00:48 
Аватара пользователя


10/12/05
43
МГУ
Может я где нить ошибся но так прикинув на бумашке у меня получилось \overline {\lim\limits_{n \to \infty} } b_n = \infty
Оценил неравенством b_n на среднее арифм. и среднее геометр. Может и напутал чего нить :(

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.06.2006, 07:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Если $a_n=2^n$ верхний предел равен 4. Надо доказать, что меньше не может быть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2006, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Это почти сразу следует из того, что функция х(1-х) не превосходит одной четвертой.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2006, 22:24 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Покажите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2006, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Перейдем от последовательности $a_n $ к монотонно возрастающей последовательности ее частичных сумм $S_n $ и будем рассматривать обратную последовательность $\frac{{S_n  - S_{n - 1} }}{{S_{n + 1} }} = \frac{{S_n }}{{S_{n + 1} }}(1 - \frac{{S_{n - 1} }}{{S_n }})$ Далее - стандартная техника , связанная с определением верхнего предела.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2006, 10:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
По сути обозначив $x_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}$ вы пришли только к переформулировке задачи. Для любой последовательности $0<x_n<1$ и начального члена исходная последовательность восстанавливается однозначно. Поэтому, задача эквивалентна тому, что нижний предел $$\lim_{n\to \infty } x_n(1-x_{n-1})\le \frac 14$$ для любой последовательности чисел $0<x_n<1$. Вывод очевиден только, когда существует предел этой последовательности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2006, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Мне казалось, да и сейчас еще кажется, что все детали дальнейшего восстанавливаются почти автоматически. Конечно, все не так прямолинейно. Предполагалось еще пошевелить последовательность $\frac{{S_n }}{{S_{n + 1} }}(1 - \frac{{S_{n - 1} }}{{S_n }})$
так, чтобы все члены новой последовательности имели бы вид
$\frac{{S_k }}{{S_{k + 1} }}(1 - \frac{{S_{k} }}{{S_k+1 }})$

и при этом не уменьшились бы по сравнению с исходными членами (это нетрудно сделать, заменяя величину х(1-у) на х(1-х) или на у(1-у) (в зависимости от соотношения между х и у) Думаю, что далее - ясно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.06.2006, 06:52 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Или последовательность $x_n$ начиная с некоторого члена монотонно растёт (в этом случае из-за ограниченности имеет предел и он не больше 1/4) или существует бесконечно много значений, когда
$x_n<x_{n-1}\Longrightarrow x_n(1-x_{n-1})<x_{n-1}(1-x_{n-1})\le \frac 14 $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group