верхний предел

[Руст]

Для последовательности положительных чисел $a_n$ определим числа $b_n=\frac{a_1+a_2+....+a_n+a_{n+1}}{a_n}.$ Доказать, что верхний предел от $\lim_n b_n\ge 4.$

[lt3km]

Может я где нить ошибся но так прикинув на бумашке у меня получилось \overline {\lim\limits_{n \to \infty} } b_n = \infty
Оценил неравенством b_n на среднее арифм. и среднее геометр. Может и напутал чего нить

[Руст]

Если $a_n=2^n$ верхний предел равен 4. Надо доказать, что меньше не может быть.

[Brukvalub]

Это почти сразу следует из того, что функция х(1-х) не превосходит одной четвертой.

[Руст]

Покажите.

[Brukvalub]

Перейдем от последовательности $a_n $ к монотонно возрастающей последовательности ее частичных сумм $S_n $ и будем рассматривать обратную последовательность $\frac{{S_n - S_{n - 1} }}{{S_{n + 1} }} = \frac{{S_n }}{{S_{n + 1} }}(1 - \frac{{S_{n - 1} }}{{S_n }})$ Далее - стандартная техника , связанная с определением верхнего предела.

[Руст]

По сути обозначив $x_n=\frac{S_n}{S_{n+1}}$ вы пришли только к переформулировке задачи. Для любой последовательности $0<x_n<1$ и начального члена исходная последовательность восстанавливается однозначно. Поэтому, задача эквивалентна тому, что нижний предел

$$\lim_{n\to \infty } x_n(1-x_{n-1})\le \frac 14$$

для любой последовательности чисел $0<x_n<1$. Вывод очевиден только, когда существует предел этой последовательности.

[Brukvalub]

Мне казалось, да и сейчас еще кажется, что все детали дальнейшего восстанавливаются почти автоматически. Конечно, все не так прямолинейно. Предполагалось еще пошевелить последовательность $\frac{{S_n }}{{S_{n + 1} }}(1 - \frac{{S_{n - 1} }}{{S_n }})$
так, чтобы все члены новой последовательности имели бы вид
$\frac{{S_k }}{{S_{k + 1} }}(1 - \frac{{S_{k} }}{{S_k+1 }})$

и при этом не уменьшились бы по сравнению с исходными членами (это нетрудно сделать, заменяя величину х(1-у) на х(1-х) или на у(1-у) (в зависимости от соотношения между х и у) Думаю, что далее - ясно.

[Руст]

Или последовательность $x_n$ начиная с некоторого члена монотонно растёт (в этом случае из-за ограниченности имеет предел и он не больше 1/4) или существует бесконечно много значений, когда
$x_n<x_{n-1}\Longrightarrow x_n(1-x_{n-1})<x_{n-1}(1-x_{n-1})\le \frac 14 $