Топология, f: D^n -> R^n, f|S^{n-1} = id

[id]

Пусть дано непрерывное $f$: $D^n \to \mathbb{R}^n$, причём такое, что его сужение на $S^{n-1}$ тождественно. Верно ли, что $Im f \subset D^n$?

[Someone]

С чего бы вдруг? Центр отобразите куда-нибудь наружу.

[ewert]

И ещё неплохо бы пояснить, кто такой Дэ -- нет такого стандартного обозначения. Про Эс-то я смутно догадываюсь, но и то не абсолютно уверен, что правильно...

[id]

Да-да-да, догадался. Что-то вроде вложения барабана в $\mathbb{R}^3$ с последующим издевательством над мембранной и проекцией на $\mathbb{R}^2$.

$D^n$ - замкнутый единичный шарик в $\mathbb{R}^n$, $S^{n-1}$ - граница этого шарика, $n-1$-мерная сфера.

[gris]

id , а не будет ли там выполняться даже $Im f = D^n$?
Для двумерной плоскости, например, вроде бы трудно представить, что можно вытащить хоть одну точку наружу и сохранить непрерывность. Тогда уж весь образ должен лежать снаружи. Да и внутри тоже устроить пустое пространство затруднительно. Впрочем, это всё чисто интуитивные предположения.
А для отрезка и прямой это очевидно

С барабаном не очень понятно. Если выколоть в шаре центр, то можно вывернуть его наизнанку через дополнительное измерение. Но потом куда этот центр приклеить?
А если не выкалывать, то можно ли непрервыно это сделать?

[Usimov]

Если не верно, что $Im f \subset D^n$, то существует точка А внутри диска, которая при отображении переходит в неограниченную компоненту связности (см. ниже, граница диска делит пространство на две компоненты связности).
Далее возможны два варианта:
1)существует хотя бы одна точка B внутри диска такая, что она отображается обратно внутрь диска. Но тогда мы получаем две точки A и B, которые лежат в одной компоненте линейной связности, а при отображении f окажутся в разных компонентах линейной связности (их будет разделять (n-1)-мерная сфера (которая инвариантна относительно отображения f), и это утверждение теоремы Жордана). Но это невозможно, ибо непрерывное отображение сохраняет компоненты линейной связности.
2)Если же не существует точек внутри диска, которые бы при отображении попадали бы обратно внутрь диска, то мы можем построить ретракцию диска на его границу, а это противоречит аналогу теоремы Брауэра. (Как построить такую ретракцию с помощью композиции отображения f и еще одного - это простые детали.)
Значит, не существует точки внутри диска, которая оказалась бы при отображении снаружи диска.
Значит, действительно, $Im f \subset D^n$.

Так что это топология, а не уроки рисования и геометрического мышления))))

[ewert]

gris в сообщении #240895 писал(а):

А для отрезка и прямой это очевидно

Очевидно, что можно вытянуть центр -- или что нельзя?

(если очевидно, что можно для отрезка, то очевидно, что можно и для любой размерности)

[Usimov]

gris в сообщении #240895 писал(а):

id , а не будет ли там выполняться даже $Im f = D^n$?

Да, будет. Опять тут играет свою роль невозможность ретракции диска на его границу. Если бы хоть одна точка диска не лежала в образе Imf, то стало бы возможно построить такую ретракцию. Так что если я не ошибаюсь, то $Im f = D^n$.

[gris]

ewert, я имел в виду, что для отрезка на прямой его внешность не будет связным множеством, поэтому там легко показать, что для непрерывного отображения с закреплёнными концами образ его будет жить на века совпадать с самим отрезком.
А для плоскости даже внешность круга не будет связной (а соображения линейной связности тут не прокатят?).
Я просто думаю, что должно существовать очень изящное и короткое доказательство, типа того, что ищут наши уважаемые ф-ы.

[ewert]

Usimov в сообщении #240910 писал(а):

Если бы хоть одна точка диска не лежала в образе Imf,

Это Вы утверждаете, что $\mathop{\mathrm{Im}}f\supset D^n$. Но ведь запрашивалось-то $\mathop{\mathrm{Im}}f\subset D^n$.

gris в сообщении #240912 писал(а):

я мел в виду, что для отрезка для прямой его внешность не будет связным множеством,

Аналогично.

[gris]

Упс... Я чего-то предполагал, что отображение инъективно. А иначе всё тривиально. Вытянем центр наружу, как говорил Someone, и всё. Или тогда тождественность сужения на сферу надо понимать как то, что на сфере отображение биективно?

[Usimov]

ewert в сообщении #240913 писал(а):

Usimov в сообщении #240910 писал(а):

Если бы хоть одна точка диска не лежала в образе Imf,

Это Вы утверждаете, что $\mathop{\mathrm{Im}}f\supset D^n$. Но ведь запрашивалось-то $\mathop{\mathrm{Im}}f\subset D^n$.
Аналогично.

Вы, наверное, не увидели, что выше я уже доказал, что $\mathop{\mathrm{Im}}f\subset D^n$ (наверное доказал, мог и ошибиться, но вроде правильно)
А в данном посте я лишь показал, как вы справедливо заметили , что $\mathop{\mathrm{Im}}f\supset D^n$
Из этого следует знак равенства. Я немного сумбурно провел выкладки, потому что на этом форуме приветствуется недосказанность в простых ученических задачах (как я знаю..)

-- Вс сен 06, 2009 14:10:52 --

gris в сообщении #240916 писал(а):

Упс... Я чего-то предполагал, что отображение инъективно. А иначе всё тривиально. Вытянем центр наружу, как говорил Someone, и всё. Или тогда тождественность сужения на сферу надо понимать как то, что на сфере отображение биективно?

Никакой инъективности не требуется. Диск мог бы перейти хоть в точку. Но ему не дает это сделать тождественность отображения на сфере.
Суть в том, что вытянуть центр наружу без того, чтобы сделать отображение разрывным, не получится.

[gris]

Тогда я бы попросил объяснить, что означает, что сужение отображение на сферу тождественно?

Означает ли это, что для любой точки сферы её образ совпадает с самой точкой?

Или же это означает, что для любой точки сферы существует только один прообраз, который совпадает с самой точкой?

При допущении неинъективности, как уже и говорилось, помещаем всё это дело в пространство большей размерности, вытягиваем центр наружу через "верх", а потом проектируем снова в $R^n$. Непрерывность сохраняется. Но прообраз сферы не будет равен сфере.

[Usimov]

Я ошибся.....

[gris]

Мне кажется, что id имел ввиду условие, что образ и прообраз сферы совпадают с ней самой. Кстати, тут даже не обязательна биекция, по-моему.