Задача про не архимедово поле *R

[masha pupsic]

Задано поле *R:
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-standa ... nsequences
кто знает, что получиться если применить к нему операцию пополнения Дедекинда

[ewert]

Первые три слова:

Цитата:

Non-standard analysis

Их же, в общем-то, и достаточно.

[masha pupsic]

это Вы о чем

[ewert]

О "нестандартном анализе".

[masha pupsic]

ewert в сообщении #240810 писал(а):

О "нестандартном анализе".

ewert эта задача к нестандартному анализу не имеет никакого отношения. Кстати термин нестандартный уже давно относят к обычному анализу, а нестандартный анализ называют стандартным, ведь ему уже 300 лет от роду.

[AD]

masha pupsic в сообщении #240816 писал(а):

Кстати термин нестандартный уже давно относят к обычному анализу, а нестандартный анализ называют стандартным, ведь ему уже 300 лет от роду.

Требую пруфлинков.

[masha pupsic]

Почитайте Эйлера.

[ewert]

masha pupsic в сообщении #240816 писал(а):

ewert эта задача к нестандартному анализу не имеет никакого отношения.

Увы. Я ведь и исчо несколько дальнейших слов прочёл:

Цитата:

is a branch of mathematics that formulates analysis using a rigorous notion of an infinitesimal number.

Именно "намберс", обратите внимание, а не просто "величин". Ну и дальше всё в том же духе.

[AGu]

masha pupsic в сообщении #240797 писал(а):

Задано поле *R
[...]
что получиться если применить к нему операцию пополнения Дедекинда

В смысле порядка получится, разумеется, условно полное линейно упорядоченное множество. Если же, следуя конструкции пополнения по Дедекинду, перетащить на это пополнение кольцевые операции, то ничего хорошего, кажись, не получится. Например, если я не затупил, пополнение не будет группой по сложению. Попробую пояснить...

Для $x,y\in{}^*\mathbb R$ введем сокращения

$(x\ll\infty)\ :=\ (\exists\,r\in\mathbb R)(x<{}^*r)$,
$(y\approx-\infty)\ :=\ (\forall\,r\in\mathbb R)(y<{}^*r)$.

Рассмотрим дедекиндовы сечения (точнее, их левые части)

$X:=\{x\in{}^*\mathbb R:x\ll\infty\}$,
$Z:=\{z\in{}^*\mathbb R:z<0\}$.

Тогда, как мне кажется, нет такого сечения $Y$, что $X+Y=Z$.
Действительно, допустим, имеется такое сечение $Y$.
Для начала покажем, что $(\forall\,y\in Y)(y\approx-\infty)$.

Если $y\in Y$, то $(\forall\,x\in X)(x+y\in Z)$, т.е. $(\forall\,x\ll\infty)(x+y<0)$,
т.е. $(\forall\,x\ll\infty)(y<-x)$, т.е. $y\approx-\infty$.

Теперь покажем, что $Z\nsubseteq X+Y$.

Достаточно заметить, что $-1\notin X+Y$.
В самом деле, если $x\in X$ и $y\in Y$, то $x\ll\infty$ и $y\approx-\infty$,
а тогда $x+y\approx-\infty$ и, следовательно, $x+y\ne-1$.

[masha pupsic]

Да. По сложению и умножению *RD разумеется не группа, а только полугруппа. Однако в этом нет ничего плохого. Зато теперь можно определить суммы для произвольных счетных последовательностей. В обычном нестандартном анализе, мы лишены этой маленькой радости

[AGu]

masha pupsic в сообщении #240967 писал(а):

Да. По сложению и умножению *R разумеется не группа, а только полугруппа.

Вы, наверное, имели в виду не *R, а дедекиндово пополнение *R.

Какой примерно ответ Вы ожидаете на свой стартовый вопрос?
(Или ответ Вам уже известен, и Вы просто предложили поупражняться?)

[masha pupsic]

Да, разумеется там опечатка.
Какой ответ Чем больше тем лучше, если конечно Вас интересует не архимедов анализ над гиперчисловыми объектами такого типа. Литература по этому вопросу, практически отсутствует.

[AGu]

masha pupsic в сообщении #240974 писал(а):

Чем больше тем лучше, если конечно Вас интересует не архимедов анализ над гиперчисловыми объектами такого типа.

Мне как-то приятнее гостить внутри $^*\mathbb R$ (и тем самым ощущать себя в родном гнездышке под именем $\mathbb R$, но с учтивой инфинитезимальной прислугой). Снаружи этот домик, на мой вкус, угловат, а после пополнения еще и враждебен.

[masha pupsic]

Тогда работайте с *RС, т.е. пополняйте Ваш домик по Коши, только разумеется соответствующим данной ситуации способом.