Задано поле
*R[...]
что получиться если применить к нему операцию пополнения Дедекинда

В смысле порядка получится, разумеется, условно полное линейно упорядоченное множество. Если же, следуя конструкции пополнения по Дедекинду, перетащить на это пополнение кольцевые операции, то ничего хорошего, кажись, не получится. Например, если я не затупил, пополнение не будет группой по сложению. Попробую пояснить...
Для

введем сокращения
,
.
Рассмотрим дедекиндовы сечения (точнее, их левые части)
,
.
Тогда, как мне кажется, нет такого сечения

, что

.
Действительно, допустим, имеется такое сечение

.
Для начала покажем, что

.
Если
, то
, т.е.
,
т.е.
, т.е.
.
Теперь покажем, что

.
Достаточно заметить, что
.
В самом деле, если
и
, то
и
,
а тогда
и, следовательно,
.