метрические пространства

[zoo]

Пусть $(X,d)$ -- метрическое пространство. Через $S$ обозначим множество сжимающих отображений этого пространства.

Положим $q(f)=\sup_{x,y\in X,\, x\ne y}\frac{d(f(x),f(y))}{d(x,y)},\qquad f\in S$
И пусть $Q=\sup_{f\in S}q(f)$

Меня интересует случай когда $X$ -- компакт. Какие значения может принимать $Q$? В частности, верно ли, что если $Q<1$ то $Q=0$.

[Someone]

Рассмотрим пространство $X=\{0,\frac 1{a^{n-1}}:n\in\mathbb N\}$ с обычной метрикой действительных чисел, где $\mathbb N$ – натуральный ряд, $a>2$. Пусть отображение $f\colon X\to X$ отображает точку $1$ в $\frac 1a$, а остальные – в $0$. Тогда, если не ошибаюсь, $Q=q(f)=\frac 1{a-1}$. Или мне показалось?

[zoo]

Спасибо. Вот здается мне, что число $Q$ должно быть топологическим инвариантом (т.е. от нормы не зависеть, которая топологию задает), а Вы как думаете?

ps Спасибо что познакомили меня с Энгелькингом, читаю образовываюсь, очень интересно.

[Someone]

Судя по моему примеру - не должно. Если я в нём не ошибся, конечно. В этом примере топология $X$ не зависит от параметра $a$, а число $Q$ - зависит.

[Алия87]

У меня маленький вопрос, он немного не по данной теме, но мне из-за его незначительности не хочется открывать новую тему, поэтому я решила спросить здесь, в этой теме.

В пространстве-времени событий СТО ”расстояние” между разными точками-событиями находят как $ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$. То есть, получается, что метрика задана. Теперь, если первая точка-событие это испускание светового сигнала, вторая точка-событие это поглощение этого сигнала, то $dt^2=dx^2+dy^2+dz^2$ и тогда ”расстояние” в пространстве-времени событий СТО будет равно нулю $ds^2=0$ для разных, несовпадающих точек. В аксиоматике для метрических пространств есть пункт, что расстояние между точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Выходит, что пространство-время СТО (пространство Минковского) по этому пункту это не метрическое пространство. Или оно всё равно метрическое? Если нет, то у меня в связи с этим вопросы.
Можно или нет употреблять слова ”расстояние” между точками в отношении не метрических пространств, без кавычек (в прямом смысле) или можно, но с кавычками (в переносном смысле).
Например, в википедии Интервал
так и написано

Цитата:

Интервал в теории относительности — расстояние между двумя событиями в пространстве-времени,…

Или же нельзя так говорить и поэтому в литературе по СТО пишут не расстояние между точками в пространстве-времени, а интервал между точками в пространстве-времени. Но в литературе по СТО можно иногда встретить и выражение ”расстояние между точками в мире Минковского”.
В общем, как можно употреблять слова ”интервал” и ”расстояние” в отношение метрических и не метрических пространств, конкретно для пространства-времени СТО (пространство Минковского).

[ewert]

Алия87 в сообщении #240544 писал(а):

В аксиоматике для метрических пространств есть пункт, что расстояние между точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Выходит, что пространство-время СТО (пространство Минковского) по этому пункту это не метрическое пространство

Нет, не метрическое.

Алия87 в сообщении #240544 писал(а):

Или оно всё равно метрическое?

"Если нельзя, но очень хочется, то -- можно" $\copyright$.Т.е. никто и никогда и никому не в силах запретить переопределить термин.

[Алия87]

Не очень поняла Вас.
То есть, в принципе так можно говорить: “Расстояние между точками в пространстве-времени”.

[ewert]

Алия87 в сообщении #240663 писал(а):

То есть, в принципе так можно говорить: “Расстояние между точками в пространстве-времени”.

В принципе, так и говорят. Надо только отдавать себе отчёт в том, что псевдоевклидова "метрика" -- это вовсе не метрика в смысле метрических пространств; соответственно, это же относится и к термину "расстояние".

[Алия87]

Спасибо.