очевидность понятия "равно".

[AGu]

epros в сообщении #239599 писал(а):

Вот всем конечным ординалам (натуральным числам) можно присвоить собственные имена.

Ой. То Вы категорически отвергаете понятие абстрактных объектов, то вдруг утверждаете, что «все» (абстрактные!) конечные ординалы могут быть поименованы. Либо я Вас тут неправильно понял, либо Вам надо бы как-то определиться. Если что, я продолжаю настаивать на своем праве воображать абстрактные натуральные числа, которые не могут быть поименованы (в Вашем втором смысле).

epros в сообщении #239599 писал(а):

AGu в сообщении #239590 писал(а):

Для конкретных «определенных в ZFC» теории $T$ и формулы $\varphi$ в ZFC доказуемо существование и единственность модели Хенкина $M$ теории $T$, а также существование и единственность первого терма $m$ со свойством $M\vDash\varphi(m)$. Что здесь не так?

Может быть я чего-то не понял, но разве у Вас есть возможность выписать этот самый "первый (в лексикографическом порядке) терм"? Теоретическое утверждение о существовании - это одно, а возможность выписать - совсем другое.

Что значит «выписать»? Это будет какой-то новый термин с новым определением? Я строго удовлетворил Ваше второе определение, предъявив (мета)формулу, однозначно описывающую этот терм в (мета)ZFC. Чего Вы еще от меня хотите?

[epros]

Someone в сообщении #239388 писал(а):

Поэтому, доказывая метатеорему для этой модели, Вы одновременно доказываете её и для самой метатеории.

Не понимаю. Если я доказал, что при подстановке в $G(n)$ вместо $n$ любого терма вида $0+1+ \dots +1$ мы получим теорему арифметики Пеано (где $G(n)$ - формула арифметики Пеано, утверждающая конечность последовательности Гудстейна, начинающейся с $n$), то, по Вашему, это противоречит наличию опровергающего примера с "нестандартным числом"? Каким образом?

Someone в сообщении #239388 писал(а):

Поэтому в Вашем доказательстве должна быть ошибка или неустранимый пробел.

Нет бы взять, да указать на эту ошибку или пробел. Доказательство достаточно простое и, по-существу, проделано "в лоб".

А Ваши "контрпримеры" мне непонятны. Вот другой собеседник указывает на возможность того, что $n = S(n)$. Да, я могу допустить, что такое "нестандартное" число $n$ могло бы стать контрпримером к теореме Гудстейна. Но ведь в термах вида $0+1+ \dots +1$ такое нереализуемо! Добавление $+1$ к концу терма заведомо порождает другой терм! Может быть последнее метатеоретическое утверждение и выходит за пределы "чистой арифметики", но уж точно не имеет никакого отношения к теории множеств.

Someone в сообщении #239388 писал(а):

Проблема не в теории множеств, а в некатегоричности арифметики.

Всё-таки мне кажется, что если теория множеств доказывает, что среди термов вида $0+1+ \dots +1$ попадаются "нестандартные числа", то проблема именно у неё.

Someone в сообщении #239388 писал(а):

Просто она не полностью формализует наши представления о натуральных числах.

Может быть. Но представление о "нестандартных числах", похоже, далеко выходит за мои представления о натуральных числах.

-- Вт сен 01, 2009 17:04:54 --

AGu в сообщении #239609 писал(а):

epros в сообщении #239599 писал(а):

Вот всем конечным ординалам (натуральным числам) можно присвоить собственные имена.

Ой. То Вы категорически отвергаете понятие абстрактных объектов, то вдруг утверждаете, что «все» (абстрактные!) конечные ординалы могут быть поименованы. Либо я Вас тут неправильно понял, либо Вам надо бы как-то определиться.

Что значит "абстрактные ординалы"? Я имел в виду, что
{}
{{}}
{{},{{}}}
...

- это способ присвоения собственных имён всем натуральным числам: Операция $x \cup \{x\}$ в ZFC указана как способ построения последователя для $x$, минимальное индуктивное множество содержит всех последователей пустого множества и только их, а конечным алгоритмом, присваивающим имена, мы в состоянии добраться до любого последователя. Значит поименованы могут быть все элементы минимального индуктивного множества (натуральные числа).

AGu в сообщении #239609 писал(а):

Что значит «выписать»? Это будет какой-то новый термин с новым определением? Я строго удовлетворил Ваше второе определение, предъявив (мета)формулу, однозначно описывающую этот терм в (мета)ZFC. Чего Вы еще от меня хотите?

Могу только констатировать взаимонепонимание на уровне принятых нами метатеорий
Поскольку самая общая принятая Вами метатеория, судя по всему, это теория множеств, Вы полагаете терм "существующим" в том случае, если это доказано в теории множеств. А я полагаю терм существующим - либо если вижу его на экране, либо, в крайнем случае, вижу на экране описание конечного алгоритма, который этот терм строит.

[AGu]

epros в сообщении #239616 писал(а):

Значит поименованы могут быть все элементы минимального индуктивного множества (натуральные числа).

И Вы серьезно намерены это утверждать? И Вас не смущает, что это утверждение не является формальным? На всякий случай я все же прошу Вас уточнить, что именно Вы понимаете под этим утверждением. Что значит «все конечные ординалы в ZFC могут быть поименованы»? Я понимаю, что всякое «имя натурального числа» (как формула) определяет в ZFC некоторый (единственный) конечный ординал, т.е. для любой такой формулы $\varphi(x)$ выполняется ${\rm ZFC}\vdash\bigl[(\exists!\,x)\,\varphi(x)\,\land\,(\exists\,x\in\omega)\,\varphi(x)\bigr]$. Но как можно утверждать, что при этом именуются «все» конечные ординалы в ZFC? Я лично не берусь формализовать такое. Ваша очередь.

epros в сообщении #239616 писал(а):

AGu в сообщении #239609 писал(а):

Что значит «выписать»? Это будет какой-то новый термин с новым определением? Я строго удовлетворил Ваше второе определение, предъявив (мета)формулу, однозначно описывающую этот терм в (мета)ZFC. Чего Вы еще от меня хотите?

Могу только констатировать взаимонепонимание на уровне принятых нами метатеорий
Поскольку самая общая принятая Вами метатеория, судя по всему, это теория множеств, Вы полагаете терм "существующим" в том случае, если это доказано в теории множеств. А я полагаю терм существующим - либо если вижу его на экране, либо, в крайнем случае, вижу на экране описание конечного алгоритма, который этот терм строит.

И тем самым отвергаете свое собственное определение. Я в принципе могу «чиста конкретно» выписать формулу, определяющую «первый терм, удовлетворяющий условию $M\vdash\varphi(m)$». (Это будет большущая формула и, возможно, она даже не поместится целиком на Ваш экран, но она будет «чиста конкретной».) Ваше же требование «выписать» сам этот терм ничем не обосновано и свидетельствует, разве что, о Вашем признании ущербности Вашего же определения. Если же все претензии связаны лишь с тем, что выбранная мной метатеория называется ZFC, то это означает, что мы вернулись к тому, с чего начали — с моего Вам сочувствия. И это также означает, что Вы послали меня на три буквы (в данном случае эти буквы — ZFC). И это означает, что наша беседа обречена (что я уже давно подозреваю, к своему сожалению).

[Someone]

epros в сообщении #239616 писал(а):

Если я доказал, что при подстановке в $G(n)$ вместо $n$ любого терма вида $0+1+ \dots +1$ мы получим теорему арифметики Пеано (где $G(n)$ - формула арифметики Пеано, утверждающая конечность последовательности Гудстейна, начинающейся с $n$), то, по Вашему, это противоречит наличию опровергающего примера с "нестандартным числом"? Каким образом?

Ну, что такое модель теории? Если на пальцах, то это совокупность объектов и отношений, сопоставленных термам и отношениям теории таким образом, что все аксиомы теории выполняются ("истинны") для этих объектов и отношений, и если некоторые высказывания теории выполняются, то все высказывания, выводимые из них по правилам вывода, также выполняются.

Вообще, мне трудно понять Ваше отношение к моделям. Когда Вы говорите о натуральных числах, Вы ведь имеете в виду не термы формального языка, а некоторую содержательную интерпретацию их (Вы всё время говорите о строках чёрточек на листе бумаги, хотя они как раз модель не образуют из-за физических ограничений; фактически Вы абстрагируетесь от этих ограничений, в результате вместо физических чёрточек получаются логические конструкции, которые и служат моделью натуральных чисел). Теория, не имеющая моделей, является бессмысленной.

Теперь посмотрим, что Вы делаете. У Вас есть теория $T$ - арифметика Пеано. Кроме того, есть её метатеория $MT$ - тоже арифметика Пеано. В $MT$ описан язык теории $T$. Все необходимые элементы этого языка с точки зрения $MT$ являются натуральными числами, поскольку других объектов в $MT$ нет.

Далее Вы определяете термы теории $T$ (двумя способами). Эти термы я пишу в кавычках, потому что это строки символов, закодированные натуральными числами теории $MT$ (здесь, конечно, наблюдается жуткая неаккуратность обозначений; если нужно, можно сделать аккуратнее).
А) 1) $s(0)={''}0{''}$ и 2) $s(n+1)={''}S(s(n)){''}$
Б) 1) $t(0)={''}0{''}$ и 2) $t(n+1)={''}t(n)+1{''}$
В действительности Вы должны, конечно, указать функции, вычисляющие коды строк ${''}S(s(n)){''}$ и ${''}t(n)+1{''}$ по кодам $s(n)$ и $t(n)$. В результате А) и Б) превращаются в определения примитивно рекурсивных функций, которые, разумеется, определены для всех натуральных чисел, имеющихся в теории $MT$. Таким образом, Вы получаете две модели натурального ряда теории $T$
Определяемые таким образом примитивно рекурсивные функции $s(n)$ и $t(n)$ определены для всех натуральных чисел, имеющихся в теории $MT$, и являются изоморфизмами натурального ряда теории $MT$ на полученные модели теории $T$.

Поскольку все три натуральных ряда изоморфны, то, доказывая теорему Гудстейна (или любую другую) для одного из них, Вы доказываете её и для двух других.

Для теории $MT$ существует модель $N_{\neg G}$, в которой теорема Гудстейна неверна. Поэтому она неверна также и в определённых Вами моделях $s(N_{\neg G})$ и $t(N_{\neg G})$ теории $T$.

epros в сообщении #239616 писал(а):

Нет бы взять, да указать на эту ошибку или пробел. Доказательство достаточно простое и, по-существу, проделано "в лоб".

Где оно, это доказательство? Если разберусь, что-нибудь напишу.

epros в сообщении #239616 писал(а):

Вот другой собеседник указывает на возможность того, что $n = S(n)$.

Я не знаю, что он имеет в виду.

epros в сообщении #239616 писал(а):

Всё-таки мне кажется, что если теория множеств доказывает, что среди термов вида $0+1+ \dots +1$ попадаются "нестандартные числа", то проблема именно у неё.

Как Вы можете видеть по моим рассуждениям, доказывает это именно арифметика Пеано. А роль теории множеств сводится только к построению соответствующей модели: после того, как модель теории $MT$ предъявлена (любым способом), чисто арифметическими рассуждениями показывается, что эти термы соответствуют всем натуральным числам, имеющимся в модели, как "стандартным", так и "нестандартным". В том числе и тем, для которых теорема Гудстейна неверна.

Проблема всё-таки в том, что арифметика Пеано плохо описывает интуитивные представления о натуральных числах.

epros в сообщении #239335 писал(а):

Что Вы вобще привязались к этим "нестандартным числам"? Я знать не желаю, что это такое. Я уже сказал, что моя метатеория рассматривает в качестве "натурального числа" терм вида $S( \dots S(0) \dots)$ (или вида $0+1+ \dots +1$, если хотите). Чтобы не было терминологических претензий, уточню, что этот терм является "уникальным именем" числа, а не "самим числом".

Здесь также есть некоторая проблема. Дело в том, что, вследствие отсутствия категоричности, теория $T$ имеет модель $N_T$, которая не изоморфна построенным выше моделям $s(N_{\neg G})$ и $t(N_{\neg G})$. В результате может оказаться, что указанных Вами термов недостаточно для именования всех натуральных чисел в модели $N_T$, либо наоборот, среди них есть лишние (и вообще трудно понять, как установить между ними соответсвие; требуется какая-то единая метаметатеория).
Заметим, что теория ZFC также в высокой степени не категорична. Но я как-то не в курсе, насколько сильно могут различаться в этих моделях множества конечных ординалов, которые служат "стандартными" моделями натурального ряда.

[epros]

AGu в сообщении #239630 писал(а):

Но как можно утверждать, что при этом именуются «все» конечные ординалы в ZFC?

Очень просто: Любая формула $\varphi(x)$ такая, что $ZFC \vdash \exists! x ~ \varphi(x)$ и $ZFC \vdash \forall x ~ \varphi(x) \rightarrow x \in \omega_0$, (и только такая) является "именем натурального числа". Согласно моему определению № 2 всё остальное - либо не является "объектом, определённым ZFC" (не соответствует $ZFC \vdash \exists! x ~ \varphi(x)$), либо не определяет "натуральное число" (не соответствует $ZFC \vdash \forall x ~ \varphi(x) \rightarrow x \in \omega_0$).

AGu в сообщении #239630 писал(а):

epros в сообщении #239616 писал(а):

А я полагаю терм существующим - либо если вижу его на экране, либо, в крайнем случае, вижу на экране описание конечного алгоритма, который этот терм строит.

И тем самым отвергаете свое собственное определение. Я в принципе могу «чиста конкретно» выписать формулу, определяющую «первый терм, удовлетворяющий условию $M\vdash\varphi(m)$». (Это будет большущая формула и, возможно, она даже не поместится целиком на Ваш экран, но она будет «чиста конкретной».)

Либо мы в чём-то друг друга недопоняли, либо Вы сейчас сознательно пудрите мне мозги старым проверенным способом - подменой понятий. "Моё собственное определение" было о том, что следует считать "объектом, определённым теорией". А выше я говорил о том, когда "полагаю терм существующим". Чувствуете, что это - разные вещи? Я не стану спорить с тем, что указанный Вами терм является "объектом, определённым ZFC". Но это не означает, что я должен признать его существующим! ZFC - неконструктивная теория, так что мало ли чего она наопределяет, далеко не всё из этого обязано существовать (по моим понятиям).

-- Ср сен 02, 2009 11:10:31 --

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Вообще, мне трудно понять Ваше отношение к моделям. Когда Вы говорите о натуральных числах, Вы ведь имеете в виду не термы формального языка, а некоторую содержательную интерпретацию их (Вы всё время говорите о строках чёрточек на листе бумаги, хотя они как раз модель не образуют из-за физических ограничений; фактически Вы абстрагируетесь от этих ограничений, в результате вместо физических чёрточек получаются логические конструкции, которые и служат моделью натуральных чисел).

Термы формального языка или строки чёрточек, какая разница? Можете считать это "изоморфными моделями". Да, я абстрагируюсь от физических ограничений, по одной простой причине: я не уверен, что эти ограничния имеют место (т.е. я не могу с уверенностью сказать, в чём именно они состоят). Предположение о том, что их просто нет, является, конечно же, "упрощением реальности", но не принципиальным, поскольку не препятствует решению практических задач.

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Все необходимые элементы этого языка с точки зрения $MT$ являются натуральными числами, поскольку других объектов в $MT$ нет.

Это не очевидно. Формулы арифметики $MT$ не трактует как числа. И я не уверен, что $MT$ имеет смысл переводить в такую форму, чтобы трактовала.

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Для теории $MT$ существует модель $N_{\neg G}$, в которой теорема Гудстейна неверна.

Мне это тоже не очевидно. Возможно, в теории множеств это можно доказать (а может и нет). Но, в любом случае, доказанность чего-то в теории множеств с моей точки зрения не является достаточно сильным аргументом для опровержения доказанного в моей $MT$.

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Где оно, это доказательство? Если разберусь, что-нибудь напишу.

Вот здесь была ссылка:

epros в сообщении #230855 писал(а):

У меня есть доказательство "метатеоремы" Гудстейна (ссылку на кусок своей статьи я здесь где-то уже приводил, если интересно, можете относительно его содержания поводить меня мордой по столу ).

Someone в сообщении #239785 писал(а):

В результате может оказаться, что указанных Вами термов недостаточно для именования всех натуральных чисел в модели $N_T$, либо наоборот, среди них есть лишние.

Мне это удивительно. По моим понятиям, термами указанного вида по определению записываются все натуральные числа и только они (в их "стандартном" понимании). Теория, утверждающая недостаточность или избыточность этих термов, с моей точки зрения занимается какой-то фигнёй...

[AGu]

epros в сообщении #239828 писал(а):

AGu в сообщении #239630 писал(а):

Но как можно утверждать, что при этом именуются «все» конечные ординалы в ZFC?

Очень просто: Любая формула $\varphi(x)$ такая, что $ZFC \vdash \exists! x ~ \varphi(x)$ и $ZFC \vdash \forall x ~ \varphi(x) \rightarrow x \in \omega_0$, (и только такая) является "именем натурального числа". Согласно моему определению № 2 всё остальное - либо не является "объектом, определённым ZFC" (не соответствует $ZFC \vdash \exists! x ~ \varphi(x)$), либо не определяет "натуральное число" (не соответствует $ZFC \vdash \forall x ~ \varphi(x) \rightarrow x \in \omega_0$).

В том-то и дело! На самом деле Вы именуете не «все ординалы», а только те, которые Вы называете «определенными объектами». А ординалами, являющимися «определенными объектами», Вы (по определению) называете те ординалы, которые могут быть поименованы. Тогда, пожалуйста, не надо говорить «все конечные ординалы могут быть поименованы», когда Вы имеете в виду «все конечные ординалы, которые могут быть поименованы, могут быть поименованы». Вы тем самым ущемляете мои права, заменяя все ординалы, доступные моему воображению, ординалами, доступными Вашему воображению.

Воображаемое мной колоссальное количество неименуемых ординалов подкрепляется воображаемыми мной моделями ZFC, в которых множество конечных ординалов имеет несчетную внешнюю мощность. Я знаю, что такие модели недоступны Вашему воображению, но это не дает Вам права запрещать мне их воображать (во всяком случае, до тех пор, пока это не приводит к логическим противоречиям).

epros в сообщении #239828 писал(а):

Либо мы в чём-то друг друга недопоняли, либо Вы сейчас сознательно пудрите мне мозги старым проверенным способом - подменой понятий. "Моё собственное определение" было о том, что следует считать "объектом, определённым теорией". А выше я говорил о том, когда "полагаю терм существующим". Чувствуете, что это - разные вещи? Я не стану спорить с тем, что указанный Вами терм является "объектом, определённым ZFC". Но это не означает, что я должен признать его существующим! ZFC - неконструктивная теория, так что мало ли чего она наопределяет, далеко не всё из этого обязано существовать (по моим понятиям).

А теперь вспомним, с чего все началось:

AGu в сообщении #239364 писал(а):

epros в сообщении #239335 писал(а):

И пример с нелинейными аддитивным функциями $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Вы тоже зря проигнорировали: он "интуитивно" о том же самом. [...] Т.е. хотя теория и утверждает существование некоторого объекта, его не удаётся определить в её языке.

Да, «самой теории» это не удается. Зато это удается метатеории с ее теорией моделей

Я отчетливо вижу здесь слова «не удается определить». И я привел пример, когда определить все же удается. Вам это, видимо, не понравилось, и Вы решили подменить понятия.

[epros]

AGu в сообщении #239832 писал(а):

В том-то и дело! На самом деле Вы именуете не «все ординалы», а только те, которые Вы называете «определенными объектами». А ординалами, являющимися «определенными объектами», Вы (по определению) называете те ординалы, которые могут быть поименованы. Тогда, пожалуйста, не надо говорить «все конечные ординалы могут быть поименованы», когда Вы имеете в виду «все конечные ординалы, которые могут быть поименованы, могут быть поименованы». Вы тем самым ущемляете мои права, заменяя все ординалы, доступные моему воображению, ординалами, доступными Вашему воображению.

Ладно, я не буду настаивать не том, что могут быть поименованы все конечные ординалы, доступные Вашему воображению. Собственно, я изначально имел в виду только конечные ординалы, доступные моему воображению.

AGu в сообщении #239832 писал(а):

А теперь вспомним, с чего все началось:

AGu в сообщении #239364 писал(а):

epros в сообщении #239335 писал(а):

И пример с нелинейными аддитивным функциями $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Вы тоже зря проигнорировали: он "интуитивно" о том же самом. [...] Т.е. хотя теория и утверждает существование некоторого объекта, его не удаётся определить в её языке.

Да, «самой теории» это не удается. Зато это удается метатеории с ее теорией моделей

Я отчетливо вижу здесь слова «не удается определить». И я привел пример, когда определить все же удается. Вам это, видимо, не понравилось, и Вы решили подменить понятия.

Вообще-то я просто приводил кусок из статьи википедии (правда речь там шла не о нелинейных аддитивных функциях, а о другом объекте - о вполне упорядочении $\mathbb{R}$). Так что возможно, что говоря о том, что этот объект "неопределим в языке ZFC", авторы вовсе не имели в виду моё определение "определённости объекта в теории".

К тому же, хочу Вам заметить, что Вы привели пример, когда "удаётся определить" (в моём смысле) не объект "нелинейная аддитивная функция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", а некий терм. Да, в интерпретации ZFC этот терм, в свою очередь, определяет "нелинейную аддитивную функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$". Но с моей точки зрения факт существования этого терма спорный, так что "нелинейная аддитивная функция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$" всё-таки "не определена".

[AGu]

epros в сообщении #239841 писал(а):

К тому же, хочу Вам заметить, что Вы привели пример, когда "удаётся определить" (в моём смысле) не объект "нелинейная аддитивная функция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$", а некий терм. Да, в интерпретации ZFC этот терм, в свою очередь, определяет "нелинейную аддитивную функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$".

А вот с этим — уже не спорю, поскольку именно это я и имел в виду, отвечая на Ваше пожелание:

epros в сообщении #239382 писал(а):

Но Вы объясните мне вот что: Если в языке ZFC неопределим некий объект, то каким образом он может оказаться определённым в качестве элемента модели, определённой в этом же самом языке?

И ответил я на него, как мне кажется, довольно точно: в языке ZFC невозможно определить нелинейную аддитивную функцию $\mathbb R\to\mathbb R$, но терм $m$, являющийся в модели $M$ нелинейной аддитивной функцией $\mathbb R\to\mathbb R$, оказался определенным в качестве элемента этой модели $M$, определенной в этом же самом языке.

Что же касается этого:

epros в сообщении #239841 писал(а):

Но с моей точки зрения факт существования этого терма спорный

... то я продолжаю Вам сочувствовать.

[epros]

AGu в сообщении #239846 писал(а):

epros в сообщении #239382 писал(а):

Но Вы объясните мне вот что: Если в языке ZFC неопределим некий объект, то каким образом он может оказаться определённым в качестве элемента модели, определённой в этом же самом языке?

И ответил я на него, как мне кажется, довольно точно: в языке ZFC невозможно определить нелинейную аддитивную функцию $\mathbb R\to\mathbb R$, но терм $m$, являющийся в модели $M$ нелинейной аддитивной функцией $\mathbb R\to\mathbb R$, оказался определенным в качестве элемента этой модели $M$, определенной в этом же самом языке.

Понятно, значит я не расслышал.
В языке ZFC такой объект "невозможно определить" - это уже законченный ответ на мой вопрос. Но, интерпретируя нижеследующее как пояснение, принимаю к сведению, что "в качестве элемента модели" мы определяем не этот объект, а некий терм, который чем-то там "является в модели" (слова, для меня достаточно загадочные).
Правильно?

[AGu]

epros в сообщении #239335 писал(а):

В языке ZFC такой объект "невозможно определить" - это уже законченный ответ на мой вопрос.

Кто бы спорил. Я ведь сразу сказал:

AGu в сообщении #239364 писал(а):

epros в сообщении #239335 писал(а):

Т.е. хотя теория и утверждает существование некоторого объекта, его не удаётся определить в её языке.

Да, «самой теории» это не удается.

Что же касается...

epros в сообщении #239335 писал(а):

некий терм, который чем-то там "является в модели" (слова, для меня достаточно загадочные).

... то я продолжаю Вам сочувствовать.

epros в сообщении #239335 писал(а):

Правильно?

Правильно.

Тем не менее, я не устаю удивляться Вашему удивлению. Куча народа смачно рассуждает в ZFC, делясь друг с другом своими рассуждениями и публикуя тонны статей, а Вы недоуменно стоите в стороне. При этом ситуация явно не симметричная. Эта куча народа понимает все, о чем Вы рассуждаете, а Вы — категорически не понимаете рассуждения этой кучи. Не знаю, как Вам, а мне за Вас обидно.

-- 2009.09.02 19:55 --

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Заметим, что теория ZFC также в высокой степени не категорична. Но я как-то не в курсе, насколько сильно могут различаться в этих моделях множества конечных ординалов, которые служат "стандартными" моделями натурального ряда.

Похоже, никто не в курсе. В конце мая я наблюдал довольно оживленную дискуссию на форуме FOM (см. «Arithmetical soundness of ZFC»), из которой в меру своих силенок заключил, что открытым остается даже вопрос о том, может ли ZFC иметь модель, в которой все натуральные числа стандартны. Вот, к примеру, что по этому поводу написал (в моем переводе) Monroe Blake Eskew из Калифорнийского универа.

Monroe Eskew в FOM писал(а):

Допустим, что ZFC непротиворечива. Тогда она имеет модель. Пусть $A$ — произвольная модель ZFC. Имеется единственный объект в $A$, удовлетворяющий определению «$\omega$». Пусть $N_A=\{x\in A:A\vDash(x\in\omega)\}$. Чем бы на самом деле ни были натуральные числа, мы должны признать, что их можно вложить в $N_A$. Отобразим $0$ в пустое множество и индуктивно продолжим это отображение, каждому $n$ сопоставляя $n$-й последователь пустого множества. По индукции мы можем доказать, что арифметические операции при этом сохраняются. Если такое отображение окажется сюръективным, мы получим изоморфизм. Тогда все, что ZFC доказывает об $\omega$, должно оказаться истинным для натуральных чисел [AGu: это и означает, что ZFC является «arithmetically sound»]. Стало быть, если ZFC не является arithmetically sound, то все модели ZFC имеют нестандартное $\omega$. На мой взгляд, это маловероятно. Наверное, хотя бы некоторые из них имеют стандартное $\omega$. Я не вижу особых причин для того, чтобы в аксиомах пряталось нечто такое, отчего $\omega$ всегда было бы нестандартным.

И никто ему не возразил. Впрочем, коль скоро все это весьма недалеко убежало от вопроса об $\omega$-непротиворечивости ZFC, удивляться тут не приходится.

[naiv1]

Someone в сообщении #239785 писал(а):

арифметика Пеано плохо описывает интуитивные представления о натуральных числах.

Почему? Не могли бы Вы пояснить свою мысль по-подробнее?
И какая теория описывает лучше?

[epros]

AGu в сообщении #239867 писал(а):

... заключил, что открытым остается даже вопрос о том, может ли ZFC иметь модель, в которой все натуральные числа стандартны

Супер И это - теория, в которой пытаются доказать существование опровергающего примера к моему доказательству "метатеоремы Гудстейна"...

[AGu]

epros в сообщении #239999 писал(а):

AGu в сообщении #239867 писал(а):

... заключил, что открытым остается даже вопрос о том, может ли ZFC иметь модель, в которой все натуральные числа стандартны

Супер И это - теория, в которой пытаются доказать существование опровергающего примера к моему доказательству "метатеоремы Гудстейна"...

Шутить изволите? Ставим на метаполочку постулат о существовании стандартной модели теории множеств, получаем чек и расписываемся в гарантийнике на сотню лет. Вас ведь не смущает постулат о существовании стандартной модели арифметики? А ведь без этого постулата вопрос о существовании стандартной модели арифметики является таким же открытым. Чем теория множеств хуже? Тем, что она менее «интуитивно очевидна»? Для одних метанатуральные числа — это конечные последовательности черточек, для других метамножества — это конечные и бесконечные наборы скобочек. Мало ли что скобочек больше. И мало ли что кому-то черточки кажутся «более реальными» или «более интуитивными» чем скобочки. Это не тот вопрос, о котором сейчас идет речь. Речь идет о математике. Коль скоро математическое сообщество уже давно располагает традиционной более общей и мощной (и пока не опровергнутой) теорией, которая, возможно, противоречит чьим-то выкладкам, то это какой-никакой, а повод задуматься и попытаться разобраться, а не лениво отвергать опровержение на основании его «неинтуитивности».

[Someone]

epros в сообщении #239828 писал(а):

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Вообще, мне трудно понять Ваше отношение к моделям. Когда Вы говорите о натуральных числах, Вы ведь имеете в виду не термы формального языка, а некоторую содержательную интерпретацию их (Вы всё время говорите о строках чёрточек на листе бумаги, хотя они как раз модель не образуют из-за физических ограничений; фактически Вы абстрагируетесь от этих ограничений, в результате вместо физических чёрточек получаются логические конструкции, которые и служат моделью натуральных чисел).

Термы формального языка или строки чёрточек, какая разница? Можете считать это "изоморфными моделями". Да, я абстрагируюсь от физических ограничений, по одной простой причине: я не уверен, что эти ограничния имеют место (т.е. я не могу с уверенностью сказать, в чём именно они состоят).

Когда Вы не хотите что-нибудь признавать, Вы начинаете изображать беспонятливого дурачка. И у меня пропадает желание продолжать обсуждение.
Раз уж Вам физические ограничения непонятны, давайте проверим на опыте. Архимед в своё время придумал систему записи очень больших чисел и показал, как с её помощью записывается число $10^{8\cdot 10^{16}}$. Предлагаю Вам изобразить его чёрточками на бумаге. Когда закончите, приходите с этой бумагой ко мне. Мы с Вами пересчитаем Ваши чёрточки, чтобы убедиться, что их именно столько. Это даст нам проверку одной из аксиом арифметики до числа Архимеда. Потом продолжим обсуждение этого вопроса.

epros в сообщении #239828 писал(а):

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Все необходимые элементы этого языка с точки зрения $MT$ являются натуральными числами, поскольку других объектов в $MT$ нет.

Это не очевидно. Формулы арифметики $MT$ не трактует как числа. И я не уверен, что $MT$ имеет смысл переводить в такую форму, чтобы трактовала.

Вам не очевидно, что в арифметике Пеано нет других объектов, кроме натуральных чисел? Посмотрите где-нибудь аксиоматику арифметики Пеано. А как трактовать числа - это дело хозяйское. Захотим - будем трактовать их как строки. Или как функции. Или как множества (в том числе и бесконечные).

epros в сообщении #239828 писал(а):

Someone в сообщении #239785 писал(а):

Для теории $MT$ существует модель $N_{\neg G}$, в которой теорема Гудстейна неверна.

Мне это тоже не очевидно.

Мне тоже. Я не знаю, как строится эта модель. Я знаю только сам факт, что такая модель есть.

epros в сообщении #239828 писал(а):

Возможно, в теории множеств это можно доказать (а может и нет). Но, в любом случае, доказанность чего-то в теории множеств с моей точки зрения не является достаточно сильным аргументом для опровержения доказанного в моей $MT$.

Я могу только присоединиться к AGu и пожалеть Вас. Доказанное в теории множеств не является опровержением доказанного Вами. Оно просто показывает, что Вы ничего не доказали, потому что такое доказательство невозможно. Ибо доказательство - это чисто синтаксический факт. От модели он никак не зависит. И если что-то доказано, оно должно быть верно во всех моделях. Независимо от того, откуда эти модели взялись.
Что касается надёжности аргументов, то в арифметике они не более надёжны, чем в теории множеств, ибо в обоих случаях эта "надёжность" базируется на недоказанной непротиворечивости.

epros в сообщении #239828 писал(а):

Someone в сообщении #239785 писал(а):

В результате может оказаться, что указанных Вами термов недостаточно для именования всех натуральных чисел в модели $N_T$, либо наоборот, среди них есть лишние.

Мне это удивительно. ... Теория, утверждающая недостаточность или избыточность этих термов, с моей точки зрения занимается какой-то фигнёй...

Нисколько. Из этих термов можно построить модель арифметики $T$. Но не любую, а вполне определённую - изоморфную модели арифметики $MT$. К несчастью, у арифметики Пеано очень много моделей.

epros в сообщении #239828 писал(а):

По моим понятиям, термами указанного вида по определению записываются все натуральные числа и только они (в их "стандартном" понимании).

Нету такого "определения".

naiv1 в сообщении #239963 писал(а):

Someone в сообщении #239785 писал(а):

арифметика Пеано плохо описывает интуитивные представления о натуральных числах.

Почему? Не могли бы Вы пояснить свою мысль по-подробнее?
И какая теория описывает лучше?

Первоначально, насколько я знаю, арифметика Пеано вместо схемы аксиом индукции содержала следующую аксиому (обозначение "АП" я придумал сам, поскольку стандартного не знаю):

АП. Каждое множество натуральных чисел, которое
1) содержит число $1$ (или $0$, если мы хотим начинать натуральный ряд с $0$) и
2) вместе с каждым натуральным числом $n$ содержит и число $n+1$,
содержит все натуральные числа.

Арифметика Пеано с этой аксиомой считается категоричной теорией, то есть, все её модели изоморфны. Видимо, эти модели и нужно считать стандартными.

Здесь, однако, есть большая проблема: аксиома АП не может быть формализована в языке арифметики первого порядка. Арифметика второго порядка (рассматриваемая в логике второго порядка) позволяет формализовать аксиому АП в полном объёме и получить категоричную теорию. Однако это автоматически означает включение в арифметику понятия множества натуральных чисел как одного из первичных понятий наряду с самими натуральными числами. Кроме того, непротиворечивость арифметики второго порядка так же не доказана, как и непротиворечивость арифметики первого порядка или теории множеств, так что неизвестно, существует ли "на самом деле" стандартный натуральный ряд.

Если же мы хотим ограничиться теориями первого порядка, то у нас есть два пути.

Первый путь состоит в том, чтобы в аксиоме АП ограничиться только множествами, которые можно определить в арифметике. Это приводит к замене аксиомы АП схемой аксиом индукции и, соответственно, к некатегоричной теории с очень большим количеством разнообразных моделей.

Второй путь состоит в формализации понятия множества (например, ZFC) и определении понятия натурального числа внутри теории множеств, то есть, в построении модели арифметики Пеано в теории множеств. В качестве "стандартной" модели натурального ряда берётся наименьшее индуктивное множество. При этом аксиома АП выполняется не для всех совокупностей натуральных чисел, а только для тех, которые есть в модели теории множеств, то есть, являются множествами. Как я уже писал, я не знаю, насколько нестандартными могут оказаться эти "стандартные" модели. Но они, на мой взгляд, лучше соответствуют интуитивным представлениям о натуральных числах, чем произвольные модели арифметики Пеано. Во всяком случае, аксиома АП выполняется в них в "полном" объёме, если забыть о том, что в теории множеств "множество всех подмножеств натурального ряда" не обязано содержать все совокупности натуральных чисел. И теорема Гудстейна для этих моделей доказуема, в отличие от произвольных моделей арифметики Пеано.

epros в сообщении #239999 писал(а):

AGu в сообщении #239867 писал(а):

... заключил, что открытым остается даже вопрос о том, может ли ZFC иметь модель, в которой все натуральные числа стандартны

Супер И это - теория, в которой пытаются доказать существование опровергающего примера к моему доказательству "метатеоремы Гудстейна"...

Прежде всего, для Вашего "доказательства" совершенно несущественно, совпадает ли какая-нибудь из "стандартных" моделей со стандартной. Достаточно того, что есть нестандартные, в которых теорема Гудстейна не выполняется. Да и смысла того, что процитировал AGu, мне кажется, Вы не поняли.
Там не сформулировано никакого математически значимого утверждения. Хотя бы потому, что "натуральные числа, чем бы они на самом деле ни были," не есть что-то достаточно хорошо определённое, чтобы доказывать для них теоремы об изоморфизме. Так что это не более, чем околоматематическая философия.

[epros]

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Раз уж Вам физические ограничения непонятны, давайте проверим на опыте. Архимед в своё время придумал систему записи очень больших чисел и показал, как с её помощью записывается число $10^{8\cdot 10^{16}}$. Предлагаю Вам изобразить его чёрточками на бумаге. Когда закончите, приходите с этой бумагой ко мне.

И что мы таким образом "проверим на опыте"? Я заранее знаю в какое ограничение мы упрёмся - в ограниченность моей мотивации. И что это доказывает? Это "ограничение" не имеет принципиального характера и может быть преодолено. Поэтому я и говорю: я не уверен, что эти ограничения (т.е. "физические") имеют место. Ровно в той же ситуации мы окажемся, если столкнёмся с каким-либо другим "ограничением". Поэтому, поверьте, я вовсе не изображаю беспонятливого дурачка (хотел бы надеяться, что Вы - тоже).

Someone в сообщении #240861 писал(а):

epros в сообщении #239828 писал(а):

Формулы арифметики $MT$ не трактует как числа. И я не уверен, что $MT$ имеет смысл переводить в такую форму, чтобы трактовала.

Вам не очевидно, что в арифметике Пеано нет других объектов, кроме натуральных чисел?

MT - не арифметика Пеано, не передёргивайте. В первую очередь, она - теория, определяющая язык арифметики Пеано.

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Я знаю только сам факт, что такая модель есть.

А мне такой факт неизвестен.

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Доказанное в теории множеств не является опровержением доказанного Вами. Оно просто показывает, что Вы ничего не доказали, потому что такое доказательство невозможно. Ибо доказательство - это чисто синтаксический факт. От модели он никак не зависит. И если что-то доказано, оно должно быть верно во всех моделях.

Угу: "доказательство - это чисто синтаксический факт", "от модели он никак не зависит" и "если что-то доказано, оно должно быть верно во всех моделях". Пусть так. Значит доказанное мной должно быть "верно во всех моделях" теории MT. Если Вы почему-то решили, что есть какие-то модели, где оно неверно, то это - Ваша проблема (или проблема используемой Вами теории). Именно потому, что у меня есть доказательство, которое "чисто синтаксический факт" (между прочим, никем пока не опровергнутый).

Someone в сообщении #240861 писал(а):

epros в сообщении #239828 писал(а):

По моим понятиям, термами указанного вида по определению записываются все натуральные числа и только они (в их "стандартном" понимании).

Нету такого "определения".

Неужели? А у Вас оно далее заявлено как "аксиома АП". Что ж, как раз читаем дальше...

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Арифметика Пеано с этой аксиомой считается категоричной теорией, то есть, все её модели изоморфны. Видимо, эти модели и нужно считать стандартными.

Очень хорошо, берём на заметку...

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Здесь, однако, есть большая проблема: аксиома АП не может быть формализована в языке арифметики первого порядка.

Боже мой, какой ужас!

Конечно же не может, потому что в языке арифметики не предусмотрены средства для выражения предиката "является натуральным числом". По той простой причине, что обычно считается, что всё, о чём говорит арифметика (все её переменные и константы) - это и есть натуральние числа, так что ей такие средства как бы и ни к чему.

Зато эта аксиома прекрасным образом формализуется в метатеории:
$\forall n ~ (n=0 \vee (\exists m ~ \mathfrak{N}(m) \wedge m+1=n)) \leftrightarrow \mathfrak{N}(n)$
Здесь $\mathfrak{N}$ - предикатный символ, определённый в языке метатеории, который призван обозначать "принадлежность к натуральным числам". Как видите, это - формула стандартного исчисления предикатов первого порядка.

Если я правильно Вас понял, то формула $\mathfrak{N}(n)$ должна выражать принадлежность $n$ именно к "стандартным" натуральным числам. И, при этом, никакой теорией множеств здесь и близко не пахнет.

Someone в сообщении #240861 писал(а):

Там не сформулировано никакого математически значимого утверждения.

Неужели? А я-то думал, что раз понятие "модели" математически значимо и понятие "стандартности" числа имеет какое-то математическое значение, то и утверждение о том, что про существование модели "самой главной теории" со стандартными числами науке ничего неизвестно, тоже должно что-то значить.

Впрочем, с моей точки зрения всё это действительно не имеет математического значения, поскольку "нестандартность" - это выверт. Понятия обычно вводятся не для того, чтобы потом придумывать к ним интерпретации, выходящие за пределы "стандартности": Если под Ваше определение жирафа неожиданно подошёл бегемот, то следует подумать об уточнении определения, а не объявлять бегемота "нестандартным жирафом".