очевидность понятия "равно".

[Someone]

epros в сообщении #238657 писал(а):

Someone в сообщении #238646 писал(а):

А арифметика Пеано определяет какие-нибудь объекты?

Ранее это обсуждалось: Определяет в любом из двух указанных определений. В смысле первого определения - это термы вида $S( \dots S(0) \dots)$. В смысле второго определения - это формулы вида $x = S( \dots S(0) \dots)$.

Вообще-то, как известно, объектами арифметики Пеано являются натуральные числа, а не термы и не формулы. Термы, в лучшем случае, можно считать именами объектов. А сами объекты как определить? Не в метатеории, а в самой арифметике.

epros в сообщении #238657 писал(а):

Someone в сообщении #238646 писал(а):

Потрудитесь объяснить, как Вы с помощью аксиом арифметики Пеано отличаете стандартные натуральные числа от нестандартных.

Если бы Вы потрудились хотя бы взглянуть на доказательство, то у Вас не возникали бы такие вопросы. Доказательство построено таким образом, что сначала доказывается $(PA \vdash G(n)) \rightarrow (PA \vdash G(n+1))$ для любого $n$ (строки) и $PA \vdash G(0)$, а потом вывод $\forall n \in \mathbb{N} ~ (PA \vdash G(n))$ получается индукцией (по термам $0, 0+1, 0+1+1, \dots$).

Так что для меня "стандартные" числа - это такие, которые можно получить индукцией из 0:
- имеем $0 \in \mathbb{N}$ (1)
- имеем $\forall n ~ (n \in \mathbb{N} \rightarrow n+1 \in \mathbb{N})$ (2)
- по индукции из (1) и (2) получаем: $\forall n ~ (n \in \mathbb{N})$

А я разве возражаю? Нисколько. Аксиомы индукции утверждают, что таким образом получаются все натуральные числа. У Вас именно это в последней строке и написано.

epros в сообщении #238657 писал(а):

Никаких "нестандартных" чисел моя метатеория вообще не знает.

Так я о том и говорю: арифметика не знает ни "стандартных", ни "нестандартных" натуральных чисел. Они для неё все - натуральные числа. И во всех схемах индукции они участвуют все.

epros в сообщении #238657 писал(а):

Someone в сообщении #238646 писал(а):

epros в сообщении #238626 писал(а):

Речь идёт об индукции, выполняемой начиная со стандартного числа 0 (есть такая константа в языке арифметики Пеано).

Ну и что? Она по определению начинается со стандартного числа $0$. В аксиоме так написано. И включает все натуральные числа, какие есть. Как стандартные, так и нестандартные. Это тоже написано в той же аксиоме.

Я не знаю о чём Вы говорите. В моей метатеории, которая содержит арифметику, но ничего не знает про "множества", все числа, которые можно получить индукцией начиная с нуля, являются "стандартными". Про "нестандартные" она вообще ничего не знает. В этой метатеории можно определить предикат $n \in \mathbb{N}$ (пусть Вас не смущает форма записи, намекающая на теоретико-множественное отношение принадлежности множеству - можно это записать и предикатным символом). И для этой предикатной формулы можно записать соответствующую аксиому индукции.

Да я разве против? Ради Бога, записывайте. По аксиоме индукции тогда $n \in \mathbb{N}$ для всех натуральных чисел, как стандартных, так и нестандартных.

epros в сообщении #238657 писал(а):

Someone в сообщении #238646 писал(а):

Все примитивно рекурсивные функции (и даже все частично рекурсивные) определяются в языке арифметики Пеано системами уравнений (деталей не знаю, никогда не интересовался).

А давайте поинтересуемся. У меня функция $\Lambda_k$ рекурсивно определяется так:
$\Lambda_1(n,m_1) = m_1$
$\Lambda_k(n,m_1, \dots , m_k) = m_k + n^{\Lambda_{k-1}(n,m_1, \dots , m_{k-1})}$

Это не ко мне. Если не ошибаюсь, этим Матиясевич занимался. Может быть, Профессор Снэйп уточнит, если я тут где-нибудь наврал.

epros в сообщении #238657 писал(а):

Someone в сообщении #238646 писал(а):

Предположим, у нас есть некоторая формула, содержащая символ $f(x)$ для значения такой функции.

Это не наш случай. Если бы была общая формула для функции $\Lambda_k$, то никаких проблем с доказуемостью в арифметике не было бы. Утверждения метатеории состоят в другом: Для любого натурального $k$ существует формула арифметики, такая что ....

Вы меня не поняли. Я ничего не говорил о том, что функция $f(x)$ выражается какой-либо явной арифметической формулой. Я говорил о том, как исключить символ $f(x)$ из любой формулы, в которой он содержится, используя его определение системой уравнений.

[AGu]

epros в сообщении #238626 писал(а):

AGu в сообщении #238491 писал(а):

Итак, Вы признали, что (интуитивно) в «мире» теории $\mathcal O_2$ «существуют различные объекты». С другой стороны, по Вашему (второму) определению теория $\mathcal O_2$ не имеет объектов. Если это — не противоречие с интуицией, то что это?

Нет, не так. Теория $\mathcal O_2$ утверждает, что существуют различные объекты. Но при этом теория $\mathcal O_2$ не определяет ни одного объекта. Не вижу противоречия.

Формального противоречия, разумеется, нет. Я говорил (и, вроде бы, довольно громко ) о противоречии с интуицией (с моей, да и с Вашей, кажется, тоже). Интуитивно объекты есть (и их как бы два), а формально их нет. Вот и противоречие. А если определять объекты как элементы модели, то такого противоречия нет. Вывод: модели — рулез, объекты второго рода — сакс.

[mrbus]

Объект равен себе и только себе.
Если и это непонятно, то скажу так. Идентификация объекта производится по существенным свойствам. Существенные свойства определяются контекстом.
Грубый пример: если мы имеем дело с биологией, то 4 зайца - не то же самое, что 4 лисы; если же рассматривать их с точки зрения школьной математики - это одни и те же объекты, т. к. законы сложения/умножения и т. п. одни и те же и количество одно и то же, а цвет их шкуры и повадки мы не рассматриваем. Недаром в школе учат складывать яблоки, помидоры, а потом, показывая на то, что нет разницы, что именно складывать - 2+2 всегда 4, - приводят нас к мысли об абстракции.
Более "математический" пример. Рассмотрим три множества: множество натуральных чисел N; множество неотрицательных целых чисел $Z_{0+}$; множество натуральных четных чисел $N_2$. Если рассматривать их как множества - это один и тот же объект (счетное множество, множество натуральных чисел). Если рассматривать их с точки зрения теории групп, то это - снова один и тот же объект (полугруппа). Поскольку ВСЕ свойства одинаковы. А если рассматривать их ещё и в совокупности с действительными числами, введя умножение/сложение с действ. числами - это будут разные объекты.
Рекомендую почитать понятие "изоморфизма".

[man]

epros в сообщении #238626 писал(а):

Не существует термов с бесконечным количеством скобок. (Напоминаю, что в определении № 1 под объектами, определёнными теорией, понимались именно замкнутые термы).

Читаем ниже :

epros в сообщении #238657 писал(а):

Ранее это обсуждалось: Определяет в любом из двух указанных определений. В смысле первого определения - это термы вида $S( \dots S(0) \dots)$. В смысле второго определения - это формулы вида $x = S( \dots S(0) \dots)$.

Что Вы тут пишете в качестве термов, после того, что Вы сказали выше ???

epros в сообщении #238657 писал(а):

Если бы Вы потрудились хотя бы взглянуть на доказательство, то у Вас не возникали бы такие вопросы. Доказательство построено таким образом, что сначала доказывается $(PA \vdash G(n)) \rightarrow (PA \vdash G(n+1))$ для любого $n$ (строки) и $PA \vdash G(0)$, а потом вывод $\forall n \in \mathbb{N} ~ (PA \vdash G(n))$ получается индукцией (по термам $0, 0+1, 0+1+1, \dots$).
Так что для меня "стандартные" числа - это такие, которые можно получить индукцией из 0:
- имеем $0 \in \mathbb{N}$ (1)
- имеем $\forall n ~ (n \in \mathbb{N} \rightarrow n+1 \in \mathbb{N})$ (2)
- по индукции из (1) и (2) получаем: $\forall n ~ (n \in \mathbb{N})$
Никаких "нестандартных" чисел моя метатеория вообще не знает.

Что значит не знает ? То, что она не категорична, это точно ))
Откуда, вдруг, взялись плюсы и др. вспомогательные символы и константы ?
Еще раз, $x \in \mathbb{N}\to S(x)\in \mathbb{N} $ какое отношение имеет к нестандартным натуральным числам и в частности к $x=S(x)$ ?
Вопрос, как мне кажется, как раз в том, что по Вашему означает $S$ ? Одного заключения в скобки, или прибавления черточки недостаточно, чтобы соответсвовать интуции натурального ряда и в частности индукции по натуральным числам.

[conviso]

Да, уважаемый anik ….
Я почти удовлетворен Вашим примером.
Вот только попробую уточнить, правильно ли я понял Ваше рассуждение.
Вы предлагаете принять ряд положений в разряд «очевидных», по сути, задаете аксиомы:
1. Существует «объект».
2. Ни один «объект» не «равен» другому «объекту».
3. У «объектов» есть «свойства»…= «свойство1», их иногда на этом Форуме предлагают называть «именами».
4. «Свойства1», то есть «имена», подлежат сравнению, и у них может обнаружиться еще одно «свойство2» = «быть равным» чему-то. Это «свойство2 свойства1», не так ли? Отсюда и появляется возможность говорить не только о «числах», как одном из «свойств1» «объекта», но и о различии между «свойствами1», как «свойстве 2».
Дальше Вы делаете вывод:

Цитата:

«Равными могут быть объекты по наличию в них одного и того же свойства. Так две очереди равны по количеству человек стоящих в них. Два шарика равны по диаметру. Здесь равенство уже приближённое, поскольку диаметру сопоставлено действительное число, а количеству человек - натуральное»

.
Как я понимаю, в Ваших построениях задействованы несколько типов «речи», в каждом из которых Вы используете «имена», и в этих «речах» у Вас происходит изменение «смысла» используемых «имен». Собственно, отсюда и выстраиваются «теоремы», речи, отличные от тавтологий.
На каком основании можно проводить такие суждения с изменением «смысла»?
Думаю это действие «интуитивно» вполне оправдано, поскольку в «природе» нашей с Вами совместной деятельности мы имеем достоверный результат: мы общаемся и, похоже, понимаем друг друга. Взаимодействие наших с Вами «речей» возможно по тому, что «свойства» «объекта» мы отличаем от самого «объекта». В зависимости от «речи» об «объекте» мы и различаем его «свойства» (что-то вроде: одна речь - одно свойство). Однако существует «объект» и мы знаем, что именно у него мы наблюдаем множество «свойств1», которые мы, дополняя один другого (при их взаимодействии), «вполне точно» можем отделять «объект» от «объекта».
Однако, как один из собеседников на Форуме заметил, необходимо для «полного» определения «объекта» задавать «бесконечное число «скобок»», на что получил ответ, что такое действие «не определено» в данном Языке. Эта «необходимость», как мне кажется «вполне» договорное свойство уже нашей совместной деятельности: сегодня это – «точно», завтра, возможно, потребуется «уточнение». Но это дополнительное действие есть свойство не Языка, а наша, потребность пользователя Языком.
Мне ясно, что «такое (бесконечное) действие» не определено не просто в данном Языке, а в той нашей «очевидной (привычной) речи», в которой используется понятие «объект» с выше названными «свойствами 1, 2». Собственно так, как мне представляется, и строится «аксиома бесконечности»: можно добавит 1 к «предыдущему» «числу», но отнюдь мы не обречены это делать «бесконечное число раз». Это всего лишь наше, или нам навязываемое, желание, имеющее мотив совсем в другой сфере нашей жизни – это свойство мировосприятия, а не Языка. В Языке, на котором мы общаемся здесь, такая необходимость действительно не определена = нет такого "взаимодействия".
Вообще-то, в предложенном Вами описании…, я бы закончил речь так: «продавец (числом 2 - можно опустить) обслуживает очередь (числом 20 - можно опустить)». С учетом иерархии в порядке слов в предложении, пожалуй, не появится смысл «продавца обслуживает очередь»…, хотя при использовании других слов может ... (при отсутствии различия им. и вин. падежей)
Почему такая тщательность (или иное более сниженное слово…) необходима? Потому что в подавляющем большинстве математических предложений, как мне представляется, происходит «интуитивное» смешение смыслов понятий. Очевидность «конечного» дела = употребления, с «интуитивной очевидностью» переносится на дело, которое отнюдь не очевидно «остальным», тем, мотивация деятельности которых не поддерживает «необходимость бесконечного дела» типа «пусть имеем все действительные числа…» и подобные варианты.

[anik]

conviso в сообщении #238875 писал(а):

Да, уважаемый anik ….
Я почти удовлетворен Вашим примером.
Вот только попробую уточнить, правильно ли я понял Ваше рассуждение.
Вы предлагаете принять ряд положений в разряд «очевидных», по сути, задаете аксиомы:
1. Существует «объект».
2. Ни один «объект» не «равен» другому «объекту».
3. У «объектов» есть «свойства»…= «свойство1», их иногда на этом Форуме предлагают называть «именами».
4. «Свойства1», то есть «имена», подлежат сравнению, и у них может обнаружиться еще одно «свойство2» = «быть равным» чему-то. Это «свойство2 свойства1», не так ли? Отсюда и появляется возможность говорить не только о «числах», как одном из «свойств1» «объекта», но и о различии между «свойствами1», как «свойстве 2».

1. Существует "объект"
В природе существует достаточно большое количество объектов. Например, количество песчинок в пустыне.
2. Ни один объект не равен другому
Например, вы не найдёте в этой пустыне две одинаковые песчинки.
Эти аксиомы не выдумка, они соответствуют реальной действительности.
3. У «объектов» есть «свойства»…= «свойство1», их иногда на этом Форуме предлагают называть «именами».
Вот здесь существенно: "свойство" и "имя" свойства - это совершенно разные понятия. Например, лимон кислый. Это свойство лимона, оно неотъемлемо связано с самим лимоном.
Каждый объект природы имеет достаточно большое количество свойств. Это следует из того, что самих объектов достаточно много, а различаются они между собой именно по свойствам.
(Вы, навернре, заметили, что я избегаю понятия "бесконечность")
Множество свойств объекта природы обеспечено самой физической природой этого объекта. Объект природы несравненно богаче по своему содержанию и свойствам, чем наше представление об этом объекте, которое создаётся в нашем сознании через органы чувств и алгоритмы распознавания образов. В нашем сознании формируется информационный образ свойства объекта (тяжёлый, кислый, горячий и т.п.). А имя объекта это уже некоторый искусственный объект природы созданный самим человеком для общения. Имя, это звук, символ или слово языка. Имя, это тоже объект существующий в природе уже вне нашего сознания. Например, объект природы (шарик от подшипника) может быть блестящим, а имя "блестящий" само не блестит как шарик.
Между свойством объекта и именем этого свойства находится наше сознание, как субъективный фактор. Весьма желательно, чтобы между свойством объекта и его именем существовало взаимно однозначное соответствие (без всяких синонимов) - это в языке теории.
4. «Свойства1», то есть «имена», подлежат сравнению, и у них может обнаружиться еще одно «свойство2» = «быть равным» чему-то. Это «свойство2 свойства1», не так ли?
Давайте сравним имена свойств "хрустальный" и "парнокопытный". Эти имена не равны между собой и навряд ли они могут быть равны чему-то. Если "синий" = "синий", то это просто запись свойства рефлексивности, которое присуще любому имени. Нельзя сказать:" давайте рассмотрим множество "синёв" или "синей" (таких слов даже нет). Конечно, под именем "равенство" подразумеваются различные понятия, их следует различать и называть различными именами. Например, мы пишем А = В, хотя видим, что А и Б непохожи.
Математики болеют болезнью, они отрываются от реальной действительности и уходят в виртуальную область абстракций, имеющих сомнительную практическую пользу.

[epros]

AGu в сообщении #238724 писал(а):

epros в сообщении #238626 писал(а):

AGu в сообщении #238491 писал(а):

Итак, Вы признали, что (интуитивно) в «мире» теории $\mathcal O_2$ «существуют различные объекты». С другой стороны, по Вашему (второму) определению теория $\mathcal O_2$ не имеет объектов. Если это — не противоречие с интуицией, то что это?

Нет, не так. Теория $\mathcal O_2$ утверждает, что существуют различные объекты. Но при этом теория $\mathcal O_2$ не определяет ни одного объекта. Не вижу противоречия.

Формального противоречия, разумеется, нет. Я говорил (и, вроде бы, довольно громко ) о противоречии с интуицией (с моей, да и с Вашей, кажется, тоже). Интуитивно объекты есть (и их как бы два), а формально их нет. Вот и противоречие.

Ну, дак, и я о том же - об "интуиции". Или точнее - о неформальной интерпретации с точки зрения "здравого смысла". Нет никакого противоречия со здравым смыслом в ситуации, когда теория утверждает существование пары объектов, но не определяет ни один такой объект сам по себе. (Утверждение о существовании пары стульев не означает, что в природе можно выделить отдельно стоящий объект "стул" ).

И пример с нелинейными аддитивным функциями $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Вы тоже зря проигнорировали: он "интуитивно" о том же самом. Посмотрите, как о таких ситауциях сказано в статье википедии Axiom of choice, раздел Nonconstructive aspects, первое предложение:
"even though the proof establishes the existence of an object, it may be impossible to define the object in the language of set theory".
Т.е. хотя теория и утверждает существование некоторого объекта, его не удаётся определить в её языке. Это более сильный случай: объект не только "не определён теорией", но "и не может быть определён в её языке". Тем не менее, никто из сторонников теории множеств почему-то не считает этот случай "противоречащим интуиции".

-- Пн авг 31, 2009 13:11:29 --

man в сообщении #238815 писал(а):

Еще раз, $x \in \mathbb{N}\to S(x)\in \mathbb{N} $ какое отношение имеет к нестандартным натуральным числам и в частности к $x=S(x)$ ?

Понятия не имею. Что Вы вобще привязались к этим "нестандартным числам"? Я знать не желаю, что это такое. Я уже сказал, что моя метатеория рассматривает в качестве "натурального числа" терм вида $S( \dots S(0) \dots)$ (или вида $0+1+ \dots +1$, если хотите). Чтобы не было терминологических претензий, уточню, что этот терм является "уникальным именем" числа, а не "самим числом".

И все эти числа - "стандартные". Если Вы (или кто-то ещё) скажете мне, что теория множеств где-то там доказывает, что подобные термы могут выражать "нестандартные числа" (если количество скобок или плюсов - "нестандартное" или, по просту говоря, бесконечное), то я отвечу, что это - собственная проблема теории множеств. По моим понятиям терм представляет собой конечную строку (в метатеории, содержащей арифметику, это утверждение можно записать формально), в которой никакого "нестандартного" количества скобок или плюсов содержаться не может.

[AGu]

epros в сообщении #239335 писал(а):

AGu в сообщении #238724 писал(а):

Интуитивно объекты есть (и их как бы два), а формально их нет. Вот и противоречие.

Ну, дак, и я о том же - об "интуиции". Или точнее - о неформальной интерпретации с точки зрения "здравого смысла". Нет никакого противоречия со здравым смыслом в ситуации, когда теория утверждает существование пары объектов, но не определяет ни один такой объект сам по себе.

Так-то оно так, но Вы, отвергая неформальные «объекты теории», взамен предлагаете всего лишь «объекты, определимые в теории», коих мало для соответствия интуиции.

Мне видится примерно такая последовательность событий: теория моделей предлагает формализацию понятия «объекта теории» как элемента модели этой теории; Вас такая формализация не устраивает; Вы предлагаете свою формализацию; Вам намекают на интуитивную ущербность такой формализации; Вы в ответ говорите, что вовсе не стремились дать определение «всех объектов теории», а дали определение «объектов, определимых в теории». Продолжая эту последовательность, я теперь повторю, что тем самым цели Вы не достигли: для Вас понятие «объекта теории» осталось таинственно неформальным, в то время как теория моделей вышла «победителем». Вы, вероятно, скажете, что теория моделей Вас как не устраивала, так и не устраивает. Я тогда, наверное, вновь попрошу предъявить альтернативную формализацию. Вы, скорее всего, повторите свое определение. Экстраполируя эту последовательность, приходим к «консенсусу»: тупика нет, но и конца не видать.

epros в сообщении #239335 писал(а):

И пример с нелинейными аддитивным функциями $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Вы тоже зря проигнорировали: он "интуитивно" о том же самом. [...] Т.е. хотя теория и утверждает существование некоторого объекта, его не удаётся определить в её языке.

Да, «самой теории» это не удается. Зато это удается метатеории с ее теорией моделей: во всякой модели ZFC (даже если ZFC противоречива ) есть объект, являющийся в этой модели нелинейной аддитивной функцией $\mathbb R\to\mathbb R$. Никакого противоречия с (моей) интуицией здесь не наблюдается, и я могу совершенно спокойно рассуждать о таких функциях, при желании (которого у меня, впрочем, нет) вспоминая про модели и представляя такие функции как метаобъекты. Коль скоро для Вас это оказывается невозможным, мне остается лишь посочувствовать.

[epros]

AGu в сообщении #239364 писал(а):

Вы, отвергая неформальные «объекты теории», взамен предлагаете всего лишь «объекты, определимые в теории», коих мало для соответствия интуиции.

Забавно, но "неформальные объекты теории", о которых говорите Вы, противоречат моей интуиции. Я определил "объекты теории" насколько сумел широко в тех пределах, которые не выходят за пределы моей интуиции. А чтобы не было конфликтов с Вашей терминологией, уточнил термин до "объекты, определённые теорией".

Пример очевидного противоречия с моей интуицией можете увидеть в моём предыдущем посте: Я доказал (и ошибки в доказательстве мне пока никто не указал), что для любого терма $n$ вида $0+1+...+1$ в арифметике Пеано существует доказательство $G(n)$, кое означает конечность последовательности Гудстейна, начинающейся с соответствующего числа. И нашлось некое количество собеседников, которые мне указывают, что оный терм может выражать ... ... "нестандартное" натуральное число, для которого теорема Гудстейна неверна.

Так вот, в смысле моего определения (хоть № 1, хоть № 2), любые таковые термы являются именами "объектов, определённых арифметикой Пеано". А вот теория множеств, оказывается, полагает, что они могут выражать ещё и какие-то "нестандартные числа", которые теореме Гудстейна не соответствуют. И эти "нестандартные числа", разумеется, начисто противоречат моей интуиции.

Что же, интересно, это должна быть за интуиция, чтобы допускать всё это в полном объёме? (Это риторический вопрос )

AGu в сообщении #239364 писал(а):

Зато это удается метатеории с ее теорией моделей: во всякой модели ZFC (даже если ZFC противоречива ) есть объект, являющийся в этой модели нелинейной аддитивной функцией $\mathbb R\to\mathbb R$.

Я не сомневаюсь, что в ZFC можно доказать, что "существует модель ZFC, такая что ...", почти с такой же лёгкостью, как в ней доказывается, что "существует нелинейная аддитивная функция $\mathbb R\to\mathbb R$". Мало ли что можно доказать при наличии достаточно богатой фантазии?

Но Вы объясните мне вот что: Если в языке ZFC неопределим некий объект, то каким образом он может оказаться определённым в качестве элемента модели, определённой в этом же самом языке?

[Someone]

epros в сообщении #239335 писал(а):

Что Вы вобще привязались к этим "нестандартным числам"? Я знать не желаю, что это такое.

Ну, из-за того, что лично Вы что-то не желаете знать, оно ведь не исчезнет.

epros в сообщении #239335 писал(а):

Я уже сказал, что моя метатеория рассматривает в качестве "натурального числа" терм вида $S( \dots S(0) \dots)$ (или вида $0+1+ \dots +1$, если хотите). Чтобы не было терминологических претензий, уточню, что этот терм является "уникальным именем" числа, а не "самим числом".

Никто, как будто, и не возражает. Вы строите в своей метатеории (тоже арифметике) модель натурального ряда. Аксиомы индукции позволяют доказать, что этот натуральный ряд изоморфен натуральному ряду самой метатеории. Поэтому, доказывая метатеорему для этой модели, Вы одновременно доказываете её и для самой метатеории.

epros в сообщении #239335 писал(а):

И все эти числа - "стандартные".

Они не "стандартные" и не "нестандартные". Они - просто натуральные числа.

epros в сообщении #239335 писал(а):

Если Вы (или кто-то ещё) скажете мне, что теория множеств где-то там доказывает, что подобные термы могут выражать "нестандартные числа" (если количество скобок или плюсов - "нестандартное" или, по просту говоря, бесконечное), то я отвечу, что это - собственная проблема теории множеств.

Нет, это, к сожалению, проблема арифметики. В теории множеств эта проблема решается (у меня, правда, есть некоторые подозрения по поводу этого решения, но я об этом слишком мало знаю). Арифметика не является категоричной теорией, то есть, имеет неизоморфные модели. Разделить числа в этой модели на "стандартные" и "нестандартные" средствами самой арифметики нельзя, так как все аксиомы арифметики одинаково выполняются для всех натуральных чисел.
В некоторых из этих моделей теорема Гудстейна неверна. Утверждение, ложное в одной из моделей теории, не может быть в этой теории доказано, если теория непротиворечива. Поэтому в Вашем доказательстве должна быть ошибка или неустранимый пробел.

epros в сообщении #239382 писал(а):

Так вот, в смысле моего определения (хоть № 1, хоть № 2), любые таковые термы являются именами "объектов, определённых арифметикой Пеано". А вот теория множеств, оказывается, полагает, что они могут выражать ещё и какие-то "нестандартные числа", которые теореме Гудстейна не соответствуют.

Не «какие-то "нестандартные числа"», а вполне законные натуральные числа, удовлетворяющие всем аксиомам арифметики Пеано.

epros в сообщении #239382 писал(а):

И эти "нестандартные числа", разумеется, начисто противоречат моей интуиции.

Я однажды Вам писал, что нестандартная модель арифметики приводит к такой же нестандартной модели вычислительного процесса, задаваемого алгоритмом. Среди моделей арифметики существуют, например, такие, в которых натуральный ряд несчётен. В применении к теории алгоритмов это немедленно приводит к тому, что вычислительный процесс может содержать несчётное число шагов. И тогда же я Вам писал, что такие вычислительные процессы, "разумеется, начисто противоречат моей интуиции". Так что Вы не одиноки.

Однако от того, что что-то "начисто противоречит интуиции", оно не становится невозможным.

Проблема не в теории множеств, а в некатегоричности арифметики. Просто она не полностью формализует наши представления о натуральных числах. Теория множеств делает это более полно, но, кстати, тоже некатегорична.

[AGu]

epros в сообщении #239382 писал(а):

Но Вы объясните мне вот что: Если в языке ZFC неопределим некий объект, то каким образом он может оказаться определённым в качестве элемента модели, определённой в этом же самом языке?

Мне ли Вам объяснять такую элементарщину? Разве не очевидно, что для любой «определенной в ZFC» непротиворечивой теории $T$ и любой «определенной в ZFC» формулы $\varphi$, удовлетворяющий условию $T\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x)$, существуют «определенная в ZFC» модель $M$ теории $T$ и «определенный в ZFC» элемент $m\in M$ такие, что $M\vDash\varphi(m)$? [Подсказка: в качестве $M$ берем модель Хенкина, а в качестве $m$ — первый (в лексикографическом порядке) терм со свойством $M\vDash\varphi(m)$.]

[man]

epros в сообщении #239335 писал(а):

Что Вы вобще привязались к этим "нестандартным числам"? Я знать не желаю, что это такое. Я уже сказал, что моя метатеория рассматривает в качестве "натурального числа" терм вида $S( \dots S(0) \dots)$ (или вида $0+1+ \dots +1$, если хотите). Чтобы не было терминологических претензий, уточню, что этот терм является "уникальным именем" числа, а не "самим числом".

Вот это мне не очень понятно. Как обеспечивается уникальность объекта (числа) соответсвующего имени ? Вы не признаете существование (доказательство существования) объекта, потому что не предъявлен способ его (объекта) построения, несмотря на то, что ему можно просто взять и приписать уникальное имя, подобно тому, как Вы приписали эти уникальные имена неким объектам не указав способ построения самих объектов. В чем разница ?
Элементы (имена) бесконечного множества, существование которого утверждается в аксиоме ZF, не повторяются (способ построения такой), чего я не могу утверждать в отношении вышеуказанных имен(объектов) и способа их построения. Т.е. я не уверен, что эти имена и способ их построения адекватны (достаточно уникальны), чтобы занумеровать бесконечный "науральный ряд", т.е. все "натуральные числа" и не занумеровать одно и тоже несколько раз.

P.S. А вообще, я симпатизирую Вашей работе над такого рода доказательством теоремы Гудстейна, это само по себе интересно.

[epros]

AGu в сообщении #239392 писал(а):

epros в сообщении #239382 писал(а):

Но Вы объясните мне вот что: Если в языке ZFC неопределим некий объект, то каким образом он может оказаться определённым в качестве элемента модели, определённой в этом же самом языке?

Мне ли Вам объяснять такую элементарщину? Разве не очевидно, что для любой «определенной в ZFC» непротиворечивой теории $T$ и любой «определенной в ZFC» формулы $\varphi$, удовлетворяющий условию $T\vdash(\exists\,x)\,\varphi(x)$, существуют «определенная в ZFC» модель $M$ теории $T$ и «определенный в ZFC» элемент $m\in M$ такие, что $M\vDash\varphi(m)$? [Подсказка: в качестве $M$ берем модель Хенкина, а в качестве $m$ — первый (в лексикографическом порядке) терм со свойством $M\vDash\varphi(m)$.]

Я по этому поводу выше писал следующее:

epros в сообщении #239382 писал(а):

Я не сомневаюсь, что в ZFC можно доказать, что "существует модель ZFC, такая что ...", почти с такой же лёгкостью, как в ней доказывается, что "существует нелинейная аддитивная функция $\mathbb R\to\mathbb R$". Мало ли что можно доказать при наличии достаточно богатой фантазии?

Так что я не понимаю, чем доказательство в ZFC того, что "существует модель..." более ценно, чем доказательство в ZFC, что "существует такой-то объект"? Согласно моим определениям, существование объекта означает, что мы можем предъявить его собственное имя (т.е. никакой другой объект теории не имеет такого имени).

[AGu]

epros в сообщении #239587 писал(а):

Так что я не понимаю, чем доказательство в ZFC того, что "существует модель..." более ценно, чем доказательство в ZFC, что "существует такой-то объект"? Согласно моим определениям, существование объекта означает, что мы можем предъявить его собственное имя (т.е. никакой другой объект теории не имеет такого имени).

Странно. Я, вроде бы, предъявил конкретные объекты, «определенные в ZFC» в смысле Вашего же последнего определения. Цитирую себя:

AGu в сообщении #239392 писал(а):

в качестве $M$ берем модель Хенкина, а в качестве $m$ — первый (в лексикографическом порядке) терм со свойством $M\vDash\varphi(m)$.

Для конкретных «определенных в ZFC» теории $T$ и формулы $\varphi$ в ZFC доказуемо существование и единственность модели Хенкина $M$ теории $T$, а также существование и единственность первого терма $m$ со свойством $M\vDash\varphi(m)$. Что здесь не так?

[epros]

man в сообщении #239500 писал(а):

Как обеспечивается уникальность объекта (числа) соответсвующего имени ? Вы не признаете существование (доказательство существования) объекта, потому что не предъявлен способ его (объекта) построения, несмотря на то, что ему можно просто взять и приписать уникальное имя, подобно тому, как Вы приписали эти уникальные имена неким объектам не указав способ построения самих объектов. В чем разница ?

Вы правильные вопросы задаёте. Попробую ответить. Вся суть состоит в том, что является "построением" объекта. Например, в реальности построение может заключаться в манипулировании некими материальными сущностями: построение объекта "стул" - эта реальная работа столяра над деревянными заготовками и деталями. "Способом" этого построения можно считать алгоритм, если, например, это - алгоритм работы станка с ЧПУ. Таким образом, "конструктивно" утверждать существование "стула", если у нас есть работоспособный алгоритм для станка с ЧПУ, который этот стул сделает. Но этот пример выходит за рамки математики, ибо обычно математика не работает с деревянными заготовками, ограничиваясь "игрой в буковки". Поэтому если мы говорим об "объекте" в рамках математики, то обычно имеем в виду строку символов. Здесь не суть важно, является ли эта строка собственным именем объекта или "самим объектом". Скажем, строка "|||" может интерпретироаться как собственное имя числа три или как число три "само по себе". Потому что объект "число три" - чисто математический, а не реальный, мы не обязаны искать ему воплощения в реальном мире иные, чем указанная строка, написанная чернилами на бумаге.

Из вышесказанного можно понять, что построение собственного имени для математического объекта - это по сути то же самое, что построение математического объекта "самого по себе". Разница - чисто терминологическая: согласны ли мы считать строку "|||" числом три "самим по себе" или будем считать, что число три может быть только названо, но не может быть "представлено вживую".

Но имя, конечно же, должно быть собственным. Т.е. мы должны гарантировать, что никакой другой объект не имеет того же имени (множественность имён для одного и того же объекта допустима).

man в сообщении #239500 писал(а):

Элементы (имена) бесконечного множества, существование которого утверждается в аксиоме ZF, не повторяются (способ построения такой), чего я не могу утверждать в отношении вышеуказанных имен(объектов) и способа их построения. Т.е. я не уверен, что эти имена и способ их построения адекватны (достаточно уникальны), чтобы занумеровать бесконечный "науральный ряд", т.е. все "натуральные числа" и не занумеровать одно и тоже несколько раз.

Почему же, многие бесконечные множества могут получить собственные имена. Например, в арифметике ординалов могут использоваться $\omega_0$, $\omega_0^{\omega_0}$, $\varepsilon_0$, аналогично для $\omega_1$ и т.п. Можно доказать в ZFC, что каждое из этих имён соответствует единственному объекту. Однако нет общего алгоритма, присваивающего собственные имена всем объектам ZFC. Вот всем конечным ординалам (натуральным числам) можно присвоить собственные имена.

-- Вт сен 01, 2009 15:57:46 --

AGu в сообщении #239590 писал(а):

Для конкретных «определенных в ZFC» теории $T$ и формулы $\varphi$ в ZFC доказуемо существование и единственность модели Хенкина $M$ теории $T$, а также существование и единственность первого терма $m$ со свойством $M\vDash\varphi(m)$. Что здесь не так?

Может быть я чего-то не понял, но разве у Вас есть возможность выписать этот самый "первый (в лексикографическом порядке) терм"? Теоретическое утверждение о существовании - это одно, а возможность выписать - совсем другое.