Моменты нормального распределения

[bubu gaga]

Даны случайные величины $x_1, x_2, x_3, \dots$ распределённые нормально $\mathcal{N}(0, \Sigma)$. Есть ли какой-нибудь алгоритм, чтобы вычислять $\mathsf{E} \left[x_1^{\alpha_1} \, x_2^{\alpha_2} \, \dots \right]$, где $\alpha_1, \alpha_2, \dots \in \mathbb{N}$?

Спасибо!

[fiktor]

Если они независимы, то
1. Если все $\alpha_i$ четны, то $\prod_i (\alpha_i-1)!! \;\Sigma_i^{\alpha_i}$, где n!! --- произведение нечетных натуральных чисел от 1 до n при нечетном n.
2. В противном случае 0.

-- Пн авг 31, 2009 22:41:40 --

Если $x_1, x_2, x_3,...$ --- гауссовский вектор, а $R_{ij}=E(x_i,x_j)$, то интересующая Вас величина $E(\prod_i x_i^{\alpha_i})$ равняется коэффициенту при $\prod_i t_i^{\alpha_i}$ в формальном ряду $exp(\frac12 \sum\limits_{ij} t_i R_{ij} t_j)$. Здесь экспонента понимается, как формальная сумма: $exp(y)=\sum_i \frac{y^i}{i!}$.

То есть нужно выловить нужное слагаемое из ряда экспоненты. Если сумма $\sum \alpha_i$ нечетна, то интересующее вас матожидание равно 0, если эта сумма четна (скажем, равна 2n) надо обратить внимание на слагаемое $\frac{(\frac12 \sum\limits_{ij} t_i R_{ij} t_j)^n}{n!}$ и найти в нем коэффициент при $\prod_i t_i^{\alpha_i}$.

Я ответил на ваш вопрос?