Математическая (ш)утка

[Ultra]

Допустим, что существуют такие X,Y,Z,n для которых верно равенство:

X^n+Y^n=Z^n (1)

возведём обе части уравнения в степень n отчего само равенство не изменится (оно же равенство, следовательно и левая и правая части умножаются на одну и ту же величину):

(X^n+Y^n)^n=(Z^n)^n (2),

перепишем (2) в ином виде:

(X^n+Y^n)^n=Z^(2n) (3)
или:
(X^n+Y^n)^n=(Z^2)^n (4)

"Убрав" n, т. е. возведя обе части равенства (4) в степень (1/n) отчего само равенство не изменится (равенство!)
получаем:

X^n+Y^n=Z^2 (5)

Сравнивая (1) и (5), записываем:

Z^n=Z^2 (6)

Единственное решение для n это n=2.

Делаем вывод, что либо равенство (1) верно и имеет множество решений только при n=2, либо равенство (1) не верно - в этом случае ход доказательства в части возведения левой и правой частей некорректен, так как в степень возводятся разные (не равные) величины.

Найдите ошибку.

[photon]

Ошибка при переходе от пункта (2) к пункту (3).

Используйте тег math

[photon]

Могу предложить аналогичную задачку на поиск ошибки:
Положим $a=b$
Домножим на $a$:
$a^2=ab$
Вычтем $b^2$:
$a^2-b^2=ab-b^2$
Разложим квадрат разности слева и вынесем $b$ за скобки справа:
$(a-b)(a+b)=b(a-b)$.
Сократим:
$a+b=b$
Так как $a=b$, то
$2a=a$, то есть любое число равно удвоенному

[Capella]

Аналогичная задача была рассмотрена к книге "Математическая смекалка" Кордемского и называлась "Слон и комар"(номер 252).

[Genrih]

photon писал(а):

Разложим квадрат разности слева и вынесем $b$ за скобки справа:
$(a-b)(a+b)=b(a-b)$.
Сократим ...

Сократим, тобишь разделим на нуль :)

Eще на тему софизмов :
$\sqrt {-1} = \sqrt {-1}$
$\sqrt{\frac 1 {-1}} = \sqrt \frac{-1} {1}$
$\frac{\sqrt 1}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt 1}$
$\sqrt 1 \sqrt 1 = \sqrt{-1}\sqrt{-1}$

или получаем
$1 = -1$

[faruk]

[Trueman]

вот ещё
$\left(-1\right)^\frac{1}{2}=\left(-1\right)^\frac{2}{4}$ или $\sqrt{-1}=\sqrt[4]{\left(-1\right)^2}$ откуда $\sqrt{-1}=1

или вот такой
$9-15=4-10$
$3^2-2\cdot 3\cdot \frac{5}{2}=2^2-2\cdot 2\cdot \frac{5}{2}$
$3^2-2\cdot 3\cdot \frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2=2^2-2\cdot 2\cdot \frac{5}{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^2$
\left(3-\frac{5}{2}\right)^2=\left(2-\frac{5}{2}\right)^2
откуда
$3-\frac{5}{2}=2-\frac{5}{2}$
3=2