Плотность множества

[citadeldimon]

Всем привет!
Пусть мы имеем некоторое измеримое множество $E,$ положительную и непрерывную функцию $h,$ тогда плотностью множества $E$ назовем число

$$ DE=\lim\limits_{R\to+\infty}\frac 1 R\int\limits_{E\cap[0;R]}dx, $$

а $h-$плотностью множества $E$ назовем следующее число

$$ D_hE=\lim\limits_{R\to+\infty}\frac 1 R\int\limits_{E\cap[0;R]}h(x)dx. $$

Меня интересует литература по определенным величинам и их свойства. Подскажите пожалуйста где можно просветиться по данному вопросу.
Огромное спасибо за внимание.

[gris]

А если интеграл не существует, а множество вполне даже ничего. И получается, что любые ограниченные множества имеют плотность 0? Множество рациональных чисел тоже имеет плотность 0.
Это уж скорее не плотность, а что-то связанное с мерой.

[citadeldimon]

gris спасибо что поправили, забыл написать что множество измеримое! Исправил свой первый пост.

[gris]

Всё это дело рассматривается на интервале $[0;\infty]$. Так и тянет рассмотреть плотность множества $E$ в множестве $F$. Функция $h$ ведь тоже определяет некоторую меру. Что нибудь типа "Интеграл и мера" читали?
Ладно, пусть спеециалисты своё слово скажут.

[citadeldimon]

gris в сообщении #238548 писал(а):

Что нибудь типа "Интеграл и мера" читали?

Первый интеграл - это мера Лебега на прямой, а второй тоже задает некоторую меру - это ясно. Думал кто то знает где это можно найти, чтобы не выводить разные свойства.

[rishelie]

Вообще, это сильно напоминает некое обобщение понятия среднего значения функции.

[AD]

rishelie в сообщении #238636 писал(а):

Вообще, это сильно напоминает некое обобщение понятия среднего значения функции.

По-моему, наоборот, частный случай ...

[citadeldimon]

Есть множества меры ноль и есть множества нулевой плотности. У меня в работе в одном частичном случае выходят исключительный множества нулевой плотности. Для завершения результата нужна неулучшаемость описания исключительного множества - вот я и думаю как лучше построить пример.