Grisania
Вы, конечно, правы: «…тройки, не общий случай».
Поэтому, полагаю, можно предложить на рассмотрение 5-ую степень, тем более, что фактически трое человек (Вы в том числе) пока не возразили против троек.
В точности как и для кубов разность 5-ых степеней равна.
. Положив
, запишем
. Или
. Может ли это число быть равно 5-ой степени? Как и у кубов здесь мы к числу в 5-ой степени
прибавляем не то что надо (выразимся так). Если мы к
будем прибавлять
, то мы определенно будем получать 5-ые степени. Букве
присвоим индекс 1.
Мы же к
прибавляем (букве
присвоим индекс 2)
. Но если при некоторых
и
окажется, что
, тогда прибавление любого из них к
даст 5-ую степень. Но тогда
. Возможно ли, чтобы разность справа была равна 5-ой степени? Вынесем
за скобку и сгруппируем
. Здесь очевидно, что за скобку можно вынести
. Запишем
. Принимаем
. Значение
подставим в числа в квадратной скобке
. Здесь важно отметить, что этими выкладками мы получили перед квадратной скобкой
, что аналогично кубам. Далее. Раскроем круглые скобки чисел, находящихся в квадратных скобках. Получим
Разделим это число на
и увидим что оно равно
. И запишем
. Как видим, мы перед квадратной скобкой получили множитель схожий с кубами. Отличие только в показателях степени. Это удивительное явление! Если мы потрудимся и построим числовые последовательности 5-ых степеней (аналогично кубам), то увидим, что полученное выражение является формулой вычисления чисел в третьем ряду последовательностей. Эти числа есть разности разностей 5-ых степеней, при том соседних чисел. Для их вычисления надо принять
. А теперь убедимся может ли множитель перед квадратной скобкой быть равен 5-ой степени. Положим
,
. Чтобы
было целым числом надо принять
. Тогда
Как и у кубов числа
, и
должны иметь одинаковую четность: либо оба нечетны, либо оба четны. Пусть
. Тогда
. И, наконец,
. Это значение
, а также
подставим в
. Получим
. (Преобразования опущены). И тогда
Сравнивая
и
, легко понять, что они не могут быть равны. Ясно, что к такому результату мы придем и в случае, если возмем
т.е. четными ( аналогично кубам).
И делаем вывод: форма
может быть равна 5-ой степени, но 5-ой степени такого числа
, которое не может быть равно
. И коль
не равно
, то и
не равно
И продолжаем…(как и у кубов)…и заключаем, что разность 5-ых степеней не может быть равна числу в 5-ой степени. Petern1.