Grisania
Вы, конечно, правы: «…тройки, не общий случай».
Поэтому, полагаю, можно предложить на рассмотрение 5-ую степень, тем более, что фактически трое человек (Вы в том числе) пока не возразили против троек.
В точности как и для кубов разность 5-ых степеней равна.

. Положив

, запишем

. Или

. Может ли это число быть равно 5-ой степени? Как и у кубов здесь мы к числу в 5-ой степени

прибавляем не то что надо (выразимся так). Если мы к

будем прибавлять

, то мы определенно будем получать 5-ые степени. Букве

присвоим индекс 1.

Мы же к

прибавляем (букве

присвоим индекс 2)

. Но если при некоторых

и

окажется, что

, тогда прибавление любого из них к

даст 5-ую степень. Но тогда

. Возможно ли, чтобы разность справа была равна 5-ой степени? Вынесем

за скобку и сгруппируем
![$$5c[(b_2^4-b_1^4)+2c(b_2^3-b_1^3)+2c^2(b_2^2-b_1^2)+c^3(b_2-b_1)]$$ $$5c[(b_2^4-b_1^4)+2c(b_2^3-b_1^3)+2c^2(b_2^2-b_1^2)+c^3(b_2-b_1)]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/a/7aaf3f20834a60bcf1d94ac866bd764582.png)
. Здесь очевидно, что за скобку можно вынести

. Запишем
![$$5c(b_2-b_1)[(b_2+b_1)(b_2^2+b_1^2)+2c(b_2^2+b_2b_1+b_1^2)+2c^2(b_2+b_1)+c^3]$$ $$5c(b_2-b_1)[(b_2+b_1)(b_2^2+b_1^2)+2c(b_2^2+b_2b_1+b_1^2)+2c^2(b_2+b_1)+c^3]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/c/dbc4c34cc1ec0691090603c9ac572d0182.png)
. Принимаем

. Значение

подставим в числа в квадратной скобке

. Здесь важно отметить, что этими выкладками мы получили перед квадратной скобкой

, что аналогично кубам. Далее. Раскроем круглые скобки чисел, находящихся в квадратных скобках. Получим
Разделим это число на

и увидим что оно равно

. И запишем
![$5cl(2b_1+c+l)[2b_1^2+2b_1c+2b_1l+c^2+cl+l^2]$ $5cl(2b_1+c+l)[2b_1^2+2b_1c+2b_1l+c^2+cl+l^2]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/3/d437fd0b8259fdbf5c3d161bc2bc5ac582.png)
. Как видим, мы перед квадратной скобкой получили множитель схожий с кубами. Отличие только в показателях степени. Это удивительное явление! Если мы потрудимся и построим числовые последовательности 5-ых степеней (аналогично кубам), то увидим, что полученное выражение является формулой вычисления чисел в третьем ряду последовательностей. Эти числа есть разности разностей 5-ых степеней, при том соседних чисел. Для их вычисления надо принять

. А теперь убедимся может ли множитель перед квадратной скобкой быть равен 5-ой степени. Положим

,


. Чтобы

было целым числом надо принять

. Тогда


Как и у кубов числа

, и

должны иметь одинаковую четность: либо оба нечетны, либо оба четны. Пусть

. Тогда
![$b_1=\frac{2[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-2c_1-1-2l_1-1}{2}$ $b_1=\frac{2[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-2c_1-1-2l_1-1}{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/6/dc6761fb2547eeacfe66643c186bd50482.png)
. И, наконец,
![$b_1=[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-c_1-l_1-1$ $b_1=[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-c_1-l_1-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/a/11a408d1e06b6d9c413712c5920cd9f482.png)
. Это значение

, а также

подставим в

. Получим
![$[10(2c_1+1)(2l+1)t]^5$ $[10(2c_1+1)(2l+1)t]^5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/e/41ec88349caa08b816b18cb725eee73a82.png)
. (Преобразования опущены). И тогда

Сравнивая

и

, легко понять, что они не могут быть равны. Ясно, что к такому результату мы придем и в случае, если возмем

т.е. четными ( аналогично кубам).
И делаем вывод: форма

может быть равна 5-ой степени, но 5-ой степени такого числа

, которое не может быть равно

. И коль

не равно

, то и

не равно

И продолжаем…(как и у кубов)…и заключаем, что разность 5-ых степеней не может быть равна числу в 5-ой степени. Petern1.