Ядро и внутренность множетсва

[Норберт]

В Колмогорове утверждается, что в нормированном пространстве внутренность множетсва совпадает с его ядром.
Но вот я никак не могу доказать что каждая точка из ядра внутренняя.
Ядром множетсва $M$ в линейном пространстве $E$ называют множество $J(M) = \{x \in E: \forall y \in E \exists \epsilon > 0 : \all t \in (-\epsilon, \epsilon) \Rightarrow x+ty \in M\}$

[Cave]

Для любого $y\in E$ пересечение прямой $x + ty, t\in\mathbb{R},$ с окрестностью точки $x$ содержит интервал с точкой $x$.

[Норберт]

Заметим что $\epsilon$ зависит от $y$. Логично рассмотреть функцию $\epsilon(x,y)=sup\{\epsilon > 0: \forall t \in (-\epsilon, \epsilon) \rightarrow x+ty \in M\}$. Тогда перебирая все $y$ будем получать интревалы $I(x,y) = \{x+ty : t \in (-\epsilon(x,y), \epsilon(x,y))\}$ разной длины. Ясно что $x \in I(x) = \bigcup\limits_{y \in E}I(x,y)$, но не более. Отсалось доказать $\exists r > 0 : B_E(x,r) \subset I(x)$. Для этого достаточно было бы $\forall x \in M \Rightarrow inf\limits_{y \in E}\epsilon(x,y) > 0$, как дальше я не знаю.

[ewert]

Норберт в сообщении #238710 писал(а):

В Колмогорове утверждается, что в нормированном пространстве внутренность множетсва совпадает с его ядром.
Но вот я никак не могу доказать что каждая точка из ядра внутренняя.
Ядром множетсва $M$ в линейном пространстве $E$ называют множество $J(M) = \{x \in E: \forall y \in E \exists \epsilon > 0 : \all t \in (-\epsilon, \epsilon) \Rightarrow x+ty \in M\}$

Это неверно: возьмите (замкнутую) область на плоскости, ограниченную двумя симметричными полуспиральками. Её центр принадлежит ядру, но не внутренности.

[Норберт]

Что занчит симметичными полуспиральками. Можно формулы полуспиралек в полярных координатах?

[Someone]

$M=\{(x,y)\in\mathbb R^2:(y\geqslant 2x^2)\vee(y\leqslant x^2)\}$

[jetyb]

Возьмите область внутри функции $r=\varphi, 0<\varphi\leq2\pi$.

[gris]

А не имеются ли в виду только выпуклые множества?
Тогда достаточно показать, что граничные точки не могут принадлежать ядру.

[Cave]

Ой, это я не в ту сторону посоветовал.
Тогда поддержу Someone, красивый пример.

[ewert]

Дело в том, что сама идея странна. Я исходил тупо из определения ядра. Берём отрезок с центром в начале координат. И начинаем зачерчивать область, вращая этот отрезок и меняя его длину как попало в зависимости от угла поворота. Ну тут всё и ясно.

А вот чуть более тонкий вопрос. Можно ли утверждать: множество открыто тогда и только тогда, когда совпадает со своим ядром?... (Непосредственно из приведённых примеров ответ на него не следует. Хотя из Someone его вытащить можно.)

[Someone]

ewert в сообщении #238780 писал(а):

Хотя из Someone его вытащить можно.

Из меня? Можно.

[gris]

Открытое совпадает со своим ядром, так как любая внутренняя точка принадлежит ядру.
Обратное не верно.
У примера Someone убрать граничные точки кроме начала координат.
К открытому шару добавить точку от границы, а потом затянуть её внутрь с поворотом.

[Норберт]

Вот по-моему более простой для понмания пример. Пусть
$N=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0 \wedge 0 < y < x^2\}$ и
$M = C_{\mathbb{R}^2}(N)$
тогда
$(0,0) \in J(M)$, но $(0,0) \notin Int(M)$.

[ewert]

Он, может, и был бы более простым, кабы не загадочное $M = C_{\mathbb{R}^2}(N)$. Совершенно специфическое обозначение (я даже и не догадываюсь, что б это могло быть такое). Нет, ну в принципе-то, догадаться, конечно, можно: это, конечно, -- примерно так множество всех функций, заданных на $N$ и имеющих производные до порядка $\mathbb{R}^2$ включительно...

[Норберт]

$C_{\mathbb{R}^2}(N)$ это дополнение множества $N$ в $\mathbb{R}^2$. Обозначение взято из Зорича.