Фундаментальные свойства степеней

[age]

Petern1
РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЕЙ кубов - это бесспорно удивительнейшая идея, заслуживающая пристального внимания! Подобного и продуктивного давно не видел на форуме.

[venco]

Petern1 в сообщении #238555 писал(а):

Возмем две разности кубов
$3b_2^2c+3b_2c^2+c^3$
$3b_1^2c+3b_1c^2+c^3$. Вычтем
$3b_2^2c+3b_2c^2+c^3-(3b_1^2c+3b_1c^2+c^3)=3b_2^2c+3b_2c^2-(3b_1^2c+3b_1c^2)$. Полученная разность есть РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЕЙ кубов. Ее можно называть еще ВТОРАЯ разность кубов. Для полного понимания происходящего необходимо построить числовые последовательности кубов
Первый ряд---кубы
Второй ряд---разности кубов
Третий ряд---разности разностей кубов

Вас не смущает, что первая "РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЕЙ кубов" - это $((b_2+c)^3-b_2^3)-((b_1+c)^3-b_1^3)$, а во втором ряду - $((k+2)^3-(k+1)^3)-((k+1)^3-k^3)$, т.е. как бы разные кубы вычитаем?

[Petern1]

-- Пт авг 28, 2009 02:29:23 --

Age

Благодарю Вас. Пожалуйста, самым пристальным образом продумайте выкладки и давайте вопросы.(в двух местах нет знака = ).


Venco
Благодарю Вас. Но прошу уточнить вопрос. Давайте будем придержива такой терминалогии: -2-ой ряд чисел---это разности кубов, или первые разности кубов.
3-ий ряд---это разности разностей кубов, или вторые разности кубов.
В Вашем вопросе перепутано [ первая РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЕЙ ].

[Petern1]

Maxal

Venco

Мат

Shwedka и другие участники форума.

В последние время я настойчиво трудился над тем чтобы довести до конца доказательство того, что разность кубов не может быть равна кубу. Убедительно прошу посмотреть выкладки. Думаю, что они представляют интерес.

Разность кубов

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Принимаем $a-b=c,a=b+c$
$a^3-b^3=c(3b^2+3bc+c^2)=3b^2c+3bc^2+c^3$. Может ли эта сумма справа быть равна кубу? Может, или не может?! Если бы мы к кубу $c^3$ прибавляли $b^3+3b^2c+3bc^2$, то мы определенно получали бы кубы. Числу $b$ присвоим индекс 1.
$b_1^3+3b_1^2c+3b_1c^2+c^3=(b_1+c)^3$. Мы же к $c^3$ прибавляем (здесь числу $b$ присвоим индекс 2)
$3b_2^2c+3b_2c^2$. Так вот, если при некоторых $b_1$ и $b_2$ окажется, что $3b_2^2c+3b_2c^2=b_1^3+3b_1^2c+3b_1c^2$,
тогда прибавление любого из них к $c^3$ давало бы куб.
Но если $3b_2^2c+3b_2c^2=b_1^3+3b_1^2c+3b_1c^2$, тогда
$(3b_2^2c+3b_2c^2)-(3b_1^2c+3b_1c^2)=b_1^3$. Слева разность двух чисел. Может ли она быть равна кубу? Что это за разность? Возмем две разности кубов
$3b_2^2c+3b_2c^2+c^3$
$3b_1^2c+3b_1c^2+c^3$. Вычтем
$3b_2^2c+3b_2c^2+c^3-(3b_1^2c+3b_1c^2+c^3)=3b_2^2c+3b_2c^2-(3b_1^2c+3b_1c^2)$. Полученная разность есть РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЕЙ кубов. Ее можно называть еще ВТОРАЯ разность кубов. Для полного понимания происходящего необходимо построить числовые последовательности кубов
Первый ряд---кубы
Второй ряд---разности кубов
Третий ряд---разности разностей кубов
Четвертый ряд---основание последовательностей.
$ \begin{array}{cccccccccccccccccccc} 0&&8&&27&&64&&125&&216&&343&&512&&729&&1000\\ &1&&7&&19&&37&&61&&91&&127&&169&&217&&271\\ &&6&&12&&18&&24&&30&&36&&42&&48&&54\\ &&&6&&6&&6&&6&&6&&6&&6&&6\\ \end{array} $[maty] Отметим, что здесь разности кубов (числа второго ряда) есть разности СОСЕДНИХ кубов т.е. не любых кубов. Числа третьего ряда как раз и есть разности разностей кубов. Здесь $c=1$. Далее мы рассматриваем числа третьего ряда, которые мы называем разности разностей кубов, или вторые разности. Сначала обратим внимание вот на что $3b_2^2c+3b_2c^2=3b_2c(b_2+c)$ также и $3b_1^2c+3b_1c^2=3b_1c(b_1+c)$. Произведение справа при любых $b$ и $c$ является четным числом, поэтому эти числа всегда будут равны $6k_2$ и $6k_1$. И поэтому разность между ними $3b_2c(b_2+c)-3b_1c(b_1+c)$ также будет числом $6k$. Продолжаем $3b_2^2c+3b_2c^2-3b_1^2c-3b_1c^2=3c[b_2^2-b_1^2+c(b_2-b_1)]$ $3c[(b_2-b_1)(b_2+b_1)+c(b_2-b_1)]=3c(b_2-b_1)(b_2+b_1+c)$. Обозначим $b_2-b_1=l , b_2=b_1+l$. Подставим $3c(b_2-b_1)(b_2+b_1+c)=3cl(b_1+l+b_1+c)=3cl(2b_1+c+l)$. Полученное число и есть вторая разность кубов, или разность разностей кубов, то есть первых разностей. Если в этом числе положить $c=1$ и $l=1$, тогда $3cl(2b_1+c+l)=3(2b_1+2)=6(b_1+1)$. Задавая $b_1=0,1,2,3…$, мы будем получать все числа третьего ряда приведенных выше числовых последовательностей. И теперь наше желание направляется на то, чтобы выяснить могут ли эти числа быть равны кубу. Предположим, что $3cl(2b_1+c+l)=x^3$. Тогда $2b_1+c+l=\frac{x^3}{3cl}$ , $b_1=\frac{x^3-3cl(c+l)}{6cl}$ . Чтобы $b$ было целым число надо положить $x=6clt$, тогда $b_1=\frac{216c^3l^3t^3-3cl(c+l)}{6cl}$ . И $b_1=\frac{72c^2l^2t^3-c-l}{2}$ .Чтобы числитель делился на 2 надо чтобы $c$ и $l$ были либо оба не четные, либо оба четные числа. Пусть $c=2c_1+1$ и $l=2l_1+1$. Подставим $b_1=\frac{72(2c_1+1)^2(2l_1+1)^2t^3-2c_1-1-2l_1-1}{2}$. $b_1=36(2c_1+1)^2(2l_1+1)^2t^3-c_1-l_1-1$. Полученное значение $b_1$, а также не четные числа $c , l$ подставим в $3cl(2b_1+c+l)$ [math]$$3(2c_1+1)(2l_1+1)[72(2c_1+1)^2(2l_1+1)^2t^3-2c_1-2l_1-2+2c_1+1+2l_1+1]$$.
Что равно $6^3(2c_1+1)^3(2l_1+1)^3t^3$
$d=6(2c_1+1)(2l_1+1)t$. В этих формулах $c_1 , l_1$ могут принимать значения 0,1,2,3…,$t$ значения 1,2,3… Сравнивая формулы вычисления $b_1$ и $d$ , легко видеть, что они не могут быть равны, что$b_1$ всегда болше $d$ при любых $c_1,l_1,t$.
А теперь вернемся к формуле
$b_1=\frac{72c^2l^2t^3-c-l}{2}$, и примем $c=2c_1 , l=2l_1$.
$b_1=\frac{72(2c_1^2(2l_1)^2t^3-2c_1-2l_1}{2}$. $b_1=36(2c_1)^2(2l_1)^2t^3-c_1-l_1$. Это значение $b_1$, а также $c=2c_1 , l=2l_1$ подставим
$$3cl(2b_1+c+l)$ $3*2c_12l_1(2*36(2c_1)^2(2l_1)^2-2c_1-2l_1+2c_1+2l_1)$ $=216(2c_1)^3(2l_1)^3t^3=[6(2c_1)(2l_1)t]^3$.
$d=24c_1l_1t$
$b_1=576c_1^2l_1^2t^3-c_1-l_1$. Здесь $c_1 ,l_1 , t$ могут принимать значения 1.2.3… Сравнивая формулы $b_1$ и $d$ легко видеть, что $b_1>d$ при любых $c_1 , l_1 , t$.
Возвращаемся к равенству
$3b_2^2c+3b_2c^2-(3b_1^2c+3b_1c^2)=b_1^3$, и говорим: разность чисел слева может быть равна кубу, но такого числа $d$, которое не равно $b_1$. Значит это равенство не возможно, значит сумма
$3b_2^2c+3b_2c^2+c^3$ кубу не может быть равна. Что и требовалось доказать.
Прошу участников форума высказать замечания, вопрсы, возражения ПО СУЩЕСТВУ! Если это доказательство для кубов может быть признано достоверным, тогда перейдем к рассмотрению 5-ых , 7-ых степеней и далее.
С уважением Petern1.

[grisania]

Приятно аднака, что ферматики начали исправляться, и доказывать ВТФ для тройки, не общий случай.

[Petern1]

Grisania

Вы, конечно, правы: «…тройки, не общий случай».
Поэтому, полагаю, можно предложить на рассмотрение 5-ую степень, тем более, что фактически трое человек (Вы в том числе) пока не возразили против троек.

В точности как и для кубов разность 5-ых степеней равна.
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$. Положив $a-b=c, a=b+c$, запишем
$a^5-b^5=c(5b^4_10b^3c+10b^2c^2+5bc^3+c^4)$. Или
$a^5-b^5=5b^4c+10b_3c^2+10b^2c^3+5bc^4+c^5$. Может ли это число быть равно 5-ой степени? Как и у кубов здесь мы к числу в 5-ой степени $c^5$ прибавляем не то что надо (выразимся так). Если мы к $c^5$ будем прибавлять
$b^5+5b^4c+10b^3c^2+10b^2c^3+5bc^4$, то мы определенно будем получать 5-ые степени. Букве $b$ присвоим индекс 1.
$b_1^5+5b_1^4c+10b_1^3c^2+10b_1^2c^3+5b_1c^4+c^5=(b_1+c)^5$
Мы же к $c^5$ прибавляем (букве $b$ присвоим индекс 2)
$5b_2^4c+10b_2^3c^2+10b_2^2c^3+5b_2c^4$. Но если при некоторых $b_1$ и $b_2$ окажется, что

$$b_1^5+5b_1^4c+10b_1^3c^2+10b_1^2c^3+5bc^4=5b_2^4c+10b_2^3c^2+10b_2^2c^3+5b_2c^4$$

, тогда прибавление любого из них к $c^5$ даст 5-ую степень. Но тогда

$$b_1^5=5b_2^4c+10b_2^3c^2+10b_2^2c^3+5bc^4-(5b_1^4c+10b_1^3c^2+10b_1^2c^3+5bc^4)$$

. Возможно ли, чтобы разность справа была равна 5-ой степени? Вынесем $5c$ за скобку и сгруппируем

$$5c[(b_2^4-b_1^4)+2c(b_2^3-b_1^3)+2c^2(b_2^2-b_1^2)+c^3(b_2-b_1)]$$

. Здесь очевидно, что за скобку можно вынести $b_2-b_1$. Запишем

$$5c(b_2-b_1)[(b_2+b_1)(b_2^2+b_1^2)+2c(b_2^2+b_2b_1+b_1^2)+2c^2(b_2+b_1)+c^3]$$

. Принимаем $b_2-b_1=l , b_2=b_1+l$. Значение $b_2$ подставим в числа в квадратной скобке

$$5cl[(2b_1+l)(2b_1^2+2b_1l+l^2)+2c(3b_1^2+3b_1l+l^2)+2c^2(2b_1+l)+c^3$$

. Здесь важно отметить, что этими выкладками мы получили перед квадратной скобкой $5cl$, что аналогично кубам. Далее. Раскроем круглые скобки чисел, находящихся в квадратных скобках. Получим

$$4b_1^3+6b_1^2l 6b_1^2c+6b_1cl+4b_1c^2+4b_1l^2+2c^2l+2cl^2+c^3+l^3$$

Разделим это число на $2b_1+c+l$ и увидим что оно равно

$$(2b_1+c+l)(2b_1^2+2b_1c+2b_1l+c^2+cl+l^2)$$

. И запишем
$5cl(2b_1+c+l)[2b_1^2+2b_1c+2b_1l+c^2+cl+l^2]$. Как видим, мы перед квадратной скобкой получили множитель схожий с кубами. Отличие только в показателях степени. Это удивительное явление! Если мы потрудимся и построим числовые последовательности 5-ых степеней (аналогично кубам), то увидим, что полученное выражение является формулой вычисления чисел в третьем ряду последовательностей. Эти числа есть разности разностей 5-ых степеней, при том соседних чисел. Для их вычисления надо принять $c=l=1$. А теперь убедимся может ли множитель перед квадратной скобкой быть равен 5-ой степени. Положим
$5cl(2b_1+c+l)=x^5$, $2b_1+c+l=\frac{x^5}{5cl}$
$b_1=\frac{x^5-5cl(c+l)}{10cl}$. Чтобы $b_1$ было целым числом надо принять $x=10clt$ . Тогда
$b_1=\frac{10^5c^5l^5t^5-5cl(c+l)}{10cl}$
$b_1=\frac{2(10cl)^4t^5-c-l}{2}$ Как и у кубов числа $c$, и $l$ должны иметь одинаковую четность: либо оба нечетны, либо оба четны. Пусть $c=2c_1+1, l=2l_1+1$. Тогда
$b_1=\frac{2[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-2c_1-1-2l_1-1}{2}$. И, наконец,
$b_1=[10(2c_1+1)(2l_1+1)]^4t^5-c_1-l_1-1$. Это значение $b_1$, а также $c=2c_1+1, l=2l_1+1$ подставим в $5cl(2b_1+c+l)$ . Получим $[10(2c_1+1)(2l+1)t]^5$. (Преобразования опущены). И тогда $d=10(2c_1+1)(2l_1+1)t$ Сравнивая $b_1$ и $d$, легко понять, что они не могут быть равны. Ясно, что к такому результату мы придем и в случае, если возмем $c=2c_1, l=2l_1$ т.е. четными ( аналогично кубам).
И делаем вывод: форма $5cl(2b_1+c+l)$ может быть равна 5-ой степени, но 5-ой степени такого числа $d$, которое не может быть равно $b_1$. И коль $d$ не равно $b_1$, то и $d^5$ не равно $b_1^5$ И продолжаем…(как и у кубов)…и заключаем, что разность 5-ых степеней не может быть равна числу в 5-ой степени. Petern1.

[grisania]

Petern1 в сообщении #238695 писал(а):

Grisania

Вы, конечно, правы: «…тройки, не общий случай».
Поэтому, полагаю, можно предложить на рассмотрение 5-ую степень, тем более, что фактически трое человек (Вы в том числе) пока не возразили против троек.
------------------------------------------------------
Petern1.

Меня не надо причислять к тройке, я глянул по диагонали. У меня есть такое подозрение, что для простых степеней, а значит, и для $n=3$ ВТФ без бесконечного спуска не решишь. У вас уж очень мудрённый спуск через разницу кубов, если конечно это спуск. Постом выше вы пишите о каких-то чудных свойствах разницы кубов, но разница кубов это и одновременно и сумма кубов, в чем легко убедится.

[dmd]

Petern1 в сообщении #238614 писал(а):

Предположим, что $3cl(2b_1+c+l)=x^3$.

Зачем вводите $x$? Разве выражение слева не равно $b_1^3$?

[venco]

Вы специально так отформатировали ваше сообщение, чтобы труднее было цитировать?

Petern1 в сообщении #238614 писал(а):

Предположим, что
$3cl(2b_1+c+l)=x^3$. Тогда
$2b_1+c+l=\frac{x^3}{3cl}$ , $b_1=\frac{x^3-3cl(c+l)}{6cl}$ . Чтобы $b$ было целым число надо положить $x=6clt$

Не надо.
Например, при $c=1, l=3, x=6$ $b_1$ получается целое.

[age]

Petern1 в сообщении #238614 писал(а):

Чтобы $b$ было целым число надо положить $x=6clt$, тогда
$b_1=\frac{216c^3l^3t^3-3cl(c+l)}{6cl}$ . И
$b_1=\frac{72c^2l^2t^3-c-l}{2}$.

А как насчет, чтобы $x^3=3clt$? А и $c$ и $l$ являлись либо кубами либо $9p^3$? Тогда никаких $\frac{72c^2l^2t^3-c-l}{2}$ не получится. Просто сократится и все?
Скажите, какой смысл столько ахинеи писать? Чтобы запутаться в элементарных арифметических ошибках и запутать других?

-- Пт авг 28, 2009 19:22:29 --

Мой вам совет: когда занимаетесь теоремой Ферма забудьте слова "четно" и "нечетно". Думаете мало дураков такую ахинею писало на трех листах ??? Внимательнейше проверяйте свои ошибки. Возиться в ваших простынях, раскатывать всякие $b_1$, $b_2$ и просто $b$, причем оказывается что $b_1$ и $x$ - одно и то же число!
Три замечания:
1. Излагайте кратко. Ищите упрощения, пока не упростите - даже не думайте о форуме!
2. Введите правильные обозначения. Зачем $b_1$ путать с $x$, когда можно сразу в самом начале ввести $x$ и никто не будет путаться. Все обозначения должны быть четкими. Например, у вас число $l$ является множителем $b$. А число $b_2=b$, так на кой хрен его вводить???? Не проще ли оставить изначальное $b$???
3. Излагайте последовательно. Например у вас $x=6clt$. Что такое $t$? Откуда взялось $6$? Вы это берете с потолка и думаете каждый должен до этого доходить сам! Указывайте: $x$ - четно, по такой-то такой-то причине, поэтому оно делится не только на три, но и на шесть. И так далее! Поменьше вводите индексов. У вас был $l$ - множитель $b$, затем появляется какой-то $l_1$. Опять с потолка. Ни обозначений, ничего!
Иначе больше такую бредятину читать не буду. Есть идеи - доносите, ошибки доносить не надо, они есть у каждого
Однозначная резолюция: вы сами понаделали неправильных обозначений, поназапутались, - как следствие, и пришли путать других.
Ваше доказательство, если постараться, можно уместить в два-три абзаца. И изложить в доступной и понятной форме. Тогда все ошибки прежде всего станут видны самому.
Хотите я за вас это сделаю?

-- Пт авг 28, 2009 19:38:49 --

dmd в сообщении #238704 писал(а):

Petern1 в сообщении #238614 писал(а):

Предположим, что $3cl(2b_1+c+l)=x^3$.

Зачем вводите $x$? Разве выражение слева не равно $b_1^3$?

Равно. Это вводится, чтобы запутать и задолбить весь форум?

[Petern1]

Grisania

Получившиеся у меня выкладки, на мой взгляд, не являются бесконечным спуском. Но, пожалуйста, продолжите (если можно) работу с тем, чтобы выяснить состоятельность такого доказательства для $n=3,n=5$. А затем определиться с общим.
С уважением Petern1.

Dmd

Выражение $3cl(2b_1+c+l)$ может быть равно квадрату, кубу, 5-ой степени и т. д., но не при любых $b_1 ,c ,l$. Поэтому понадобились такие выкладки. Посмотрите еще раз и, надеюсь, Вы сами найдете ответ на свой вопрос. Выражение слева равно $d^3$, но не $b_1^3$, и $b_1>d$.

Venco.

Над Вашим вопросом тщательно подумаю, прсчитаю. Но в плохих умыслах, пожалуйста, меня не подозревайте.
С уважением Petern1

ДЛЯ ВСЕХ
Вынужден отлучиться на два дня.

-- Пт авг 28, 2009 20:15:43 --

age

Приведите числовой пример равенству
$3cl(2b_1+c+l)=b_1^3$.

[venco]

Petern1 в сообщении #238744 писал(а):

Приведите числовой пример равенству
$3cl(2b_1+c+l)=b_1^3$.

Это равенство эквивалентно равенству $a^3+b^3=c^3$, а значит решений не имеет.
Но вы то ведь собирались именно это доказать.

[age]

Petern1
Это конечно, не входит в мою компетенцию, но:
$3\cdot967^3\cdot3^2\cdot693^3(2\cdot1574+3^2\cdot693^3+967^3)=3164358582^3$
К сожалению, $b_1\neq x$. Но думаю venco прав.

[venco]

age в сообщении #238757 писал(а):

Petern1
Это конечно, не входит в мою компетенцию, но:
$3\cdot967^3\cdot9^2\cdot693^3(2\cdot1574+9^2\cdot693^3+967^3)=3164358582^3$
К сожалению, $b_1\neq x$. Но думаю venco прав.

Наверно, вы имели в виду:
$3\cdot967^3\cdot9\cdot693^3(2\cdot1574+9\cdot693^3+967^3)=3164358582^3$

[mrbus]

Вставлю свои 5 копеек в обсуждение.

Petern1 в сообщении #173539 писал(а):

Однако для доказательства он применил опять-таки комплексные числа. Ферма не признал бы такое доказательство. Он был решительным сторонником того, чтобы задачи целых чисел решались силами и средствами этих же чисел.

В принципе обоснованный "запрет". Можно вообще запретить использовать расширения рассматриваемой алгебры в любом доказательстве. И "уткнуться" в гёделевскую неполноту. А расширяя, можем "невзначай" доказать что не есть "правильное" доказательство.
Хотя, быть может, иногда ту же неполноту можно показать и используя расширения, показав, что для доказательства существенно использовались свойства расширенной теории и без них доказать никак не получится. А может быть, наоборот, показать, что расширенная теория - всего лишь удобный инструмент, дающий простое доказательство, при чем не использующее свойств расширенной теории, и тем самым показать, что можно было бы доказать и не выходя за рамки нашей теории, но более громоздко.
Так что отношение двоякое к такому изречению Ферма...

Сорри за небольшой оффтоп