Тригонометрия и числа

[STilda]

есть теорема пифагора $a^2+b^2=c^2$. а есть понятие нормы вектора, есть модуль комплексного числа $|a+i*b|^2=a^2+b^2$. Так вопрос почему вдруг они должны совпадать? Норму вектора подогнали к теореме пифагора? Может ли норма быть корнем кубическим из сумы кубов координат?

[ewert]

STilda в сообщении #234601 писал(а):

Может ли норма быть корнем кубическим из сумы кубов координат?

Может, но такая норма не связана со скалярным произведением, что не есть хорошо.

[STilda]

а почему это не хорошо?

[ewert]

STilda в сообщении #234702 писал(а):

а почему это не хорошо?

Потому, что полезных формул получается гораздо меньше. Кроме того, теряется гладкость в нуле, что тоже плохо.

[Профессор Снэйп]

STilda в сообщении #234601 писал(а):

Может ли норма быть корнем кубическим из сумы кубов координат?

Может. Например --- квадратный корень из суммы квадратов координат

[STilda]

просто тогда получится $sin^3(x)+cos^3(x)=1$

-- Сб авг 15, 2009 13:50:44 --

а вот например система по умножению для тригонометрии
То что совпадает с обычным
$sin(x)*sec(x)=cos(x)*cosec(x)=tg(x)*ctg(x)=1$
$sin(x)*cosec(x)=tg(x),cos(x)*sec(x)=ctg(x)$
И то что пришлось ввести для того чтоб дозадать ВСЕ взаимодействия
$lop(x)*lec(x)=1,lec(x)=sin(x)*cos(x),lop(x)=sec(x)*cosec(x)$
Тогда получим что
$sin^2(x)=sec(x),cos^2(x)=cosec(x),lop^2(x)=lec(x),tg^2(x)=ctg(x)$
$sin^3(x)=cos^3(x)=lop^3(x)=tg^3(x)=1$
И так далее. Например имеем, что
$tg(x)=sin(x)/cos(x)=cos(x)/lop(x)=lop(x)/sin(x)$

Теперь можно задавать вопрос про решение этой функциональной системы. Для ее задания, как видим, не нужно иметь самих правил вычисления функций.

Не обращайте внмания на то что это группа а не алгебра и сложения тут пока нет.

[Профессор Снэйп]

STilda в сообщении #235290 писал(а):

просто тогда получится $sin^3(x)+cos^3(x)=1$

Простите, не понял. Каким образом это получается?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #235520 писал(а):

STilda в сообщении #235290 писал(а):

просто тогда получится $sin^3(x)+cos^3(x)=1$

Простите, не понял. Каким образом это получается?

Ну, например, так получается:

Профессор Снэйп в сообщении #234748 писал(а):

STilda в сообщении #234601 писал(а):

Может ли норма быть корнем кубическим из сумы кубов координат?

Может. Например --- квадратный корень из суммы квадратов координат

Очевидно ведь!

-- Вс авг 16, 2009 12:09:03 --

STilda в сообщении #235290 писал(а):

То что совпадает с обычным
$sin(x)*sec(x)=cos(x)*cosec(x)=1$
$sin(x)*cosec(x)=tg(x),cos(x)*sec(x)=ctg(x)$

Вообще-то обычно -- наоборот.

[STilda]

Профессор Снэйп в сообщении #235520 писал(а):

STilda в сообщении #235290 писал(а):

просто тогда получится $sin^3(x)+cos^3(x)=1$

Простите, не понял. Каким образом это получается?

Ну я так рассуждаю: если треугольник с вершинами в точках $(0,0),(a,b),(a,0)$, норма катетов будет $a,b$ (считаем положительными), норма гипотенузы $с=(a^3+b^3)^{1/3}$. Тогда сумма кубов норм катетов равна кубу нормы гипотенузы $a^3+b^3=c^3$. Норма вводит понятие длинны в алгебру (если не норма тогда как? варианты приветствуются). Тогда вводим как обычно $sin(x)=a/c,cos(x)=b/c$ и имеем $sin^3(x)+cos^3(x)=1$.
Основной момент это то, что длинна зрительная и длинна алгебраическая - разные вещи.

[Yarkin]

STilda в сообщении #234601 писал(а):

есть теорема пифагора $a^2+b^2=c^2$. а есть понятие нормы вектора, есть модуль комплексного числа $|a+i*b|^2=a^2+b^2$. Так вопрос почему вдруг они должны совпадать? Норму вектора подогнали к теореме пифагора? Может ли норма быть корнем кубическим из сумы кубов координат?

В этих соотношениях рассматриваются два разных геометрических объекта.

[ewert]

STilda в сообщении #235541 писал(а):

Норма вводит понятие длинны в алгебру (если не норма тогда как? варианты приветствуются

Без вариантов. Понятие длинннны вводится скалярным произведением -- структурой существенно более жёсткой, чем просто норма.

[STilda]

Ой. Я же могу использовать просто метрику. Расстояние между двумя точками. Скалярное произведение тогда не понадобится.

[ewert]

STilda в сообщении #238213 писал(а):

Я же могу использовать просто метрику.

Не можете. Не получится инвариантного расстояния между двумя точками вдоль некоторой геодезической. Ибо и самой-то геодезической не будет. Ну а что получится (собственно "расстояние") -- никому не интересно, ибо ни к каким практически значимым выводам не ведёт.

[STilda]

ewert в сообщении #238224 писал(а):

Не получится инвариантного расстояния между двумя точками вдоль некоторой геодезической.

Инвариантного относительно каких преобразований (конкретно)?. Вообще не очень вас понял. Что это все значит?

-- Чт авг 27, 2009 01:20:15 --

Yarkin в сообщении #238174 писал(а):

В этих соотношениях рассматриваются два разных геометрических объекта.

Прокоментируйте подробнее

[Yarkin]

STilda в сообщении #238213 писал(а):

Ой. Я же могу использовать просто метрику. Расстояние между двумя точками. Скалярное произведение тогда не понадобится.

Оно будет выполненно косвенно, поскольку точки и векторы описываются одинаково.