Тригонометрическая форма комплексного числа.

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #237914 писал(а):

Сейчас работаю с более сложными случаями, там "плохие", нетабличные углы, и нужно применять формулы половинного угла,

Вот и потренируйтесь. Ваше дело -- прокукарекать формулу Маувра, а про половинные или двойные углы временно забудьте, это -- случайность, если и есть, и ни малейшего отношения к задаче извлечения корня -- не имеют.

[gris]

Представляю, как бедный студент вписывает арккосинус в формулу Муавра.

[ewert]

он не вписывать обязан, а считать. И, кстати, не арккосинус, а арктангенс (это логически заметно проще).

[gris]

А считать вручную?

[ewert]

Вручную -- это значит на куркуляторе. А уж какова природа того куркулятора -- шариковая ручка, или колечки на проволочке, или микросхемы какие -- роли не играет.

[AKM]

Mitrius_Math в сообщении #237914 писал(а):

Решаю тригонометрическим способом. Число $-15+8i$ отображается на плоскости точкой вo II четверти. Значит, косинус отрицательный, а синус положительный....
... Не пойму в чём моя ошибка

Во-первых, наоборот: косинус отрицательный, а синус положительный, ЗНАЧИТ, число $-15+8i$ отображается на плоскости точкой во II четверти.
Во-вторых, ежели $\phi$ во II-й, то $\dfrac{\phi}2$ --- в первой. Ему ЗА ЭТО надо дать положительные и косинус, и синус.

Рисовать, рисовать, думать, и всё образуется с тригонометрическими формами.

[Mitrius_Math]

AKM в сообщении #237965 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #237914 писал(а):

Решаю тригонометрическим способом. Число $-15+8i$ отображается на плоскости точкой вo II четверти. Значит, косинус отрицательный, а синус положительный....
... Не пойму в чём моя ошибка

наоборот: косинус отрицательный, а синус положительный, ЗНАЧИТ, число $-15+8i$ отображается на плоскости точкой во II четверти.

АКМ, почему именно в таком порядке? Разве обратное утверждение не справедливо, если оперировать декартовыми координатами? То есть, по координатам рисуем точку и определяем четверть, в которой она находится.

[gris]

Это моночленно. Справедливы оба утвержнения, так как декартовы координаты и есть косинус и синус, умноженные на положительную длину радиус-вектора.

[AKM]

Mitrius_Math в сообщении #238439 писал(а):

АКМ, почему именно в таком порядке?

Возможно, чисто личное восприятие. Не будем акцентировать.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #238440 писал(а):

Это моночленно. Справедливы оба утвержнения, так как декартовы координаты и есть косинус и синус, умноженные на положительную длину радиус-вектора.

Я понял. Значит, логически это выглядит так:
(косинус отрицательный, а синус положительный) $\Leftrightarrow $ (число отображается на плоскости точкой во II четверти).

-- Чт авг 27, 2009 16:16:36 --

АКМ, спасибо. Я разобрался со знаками тригонометрических функций благодаря геометрической интерпретации.
Ewert, не вижу смысла в использовании аркфункций, т.к. получается то же самое и от формул половинных углов не уйти.

[gris]

Точно!
А насчёт половинных углов... Что Вы будете делать, если надо будет найти корни пятой степени?

Кстати, совет. Посмотрите, как красиво располагаются на окружности корни n-ной степени из 1. Корни из любого числа располагаются так же равномерно на некоторой окружности.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #238456 писал(а):

Что Вы будете делать, если надо будет найти корни пятой степени?

Надо попробовать (с нетабличными значениями тригонометрических функций).

gris в сообщении #238456 писал(а):

Посмотрите, как красиво располагаются на окружности корни n-ной степени из 1. Корни из любого числа располагаются так же равномерно на некоторой окружности.

Видел в Википедии: там получаются правильные многоугольники, вписанные в окружность.

[gris]

А если этот пятиугольник сжать\расширить и повернуть, то получится совокупность корней пятой степени из какого-то числа.

[ewert]

Да не мучайте вы человека. Пусть просто пройдёт формулу Муавра со всеми её геометрическими окружениями (а её и их ему не могли не давать) -- и выйдет щастье.

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #238513 писал(а):

Да не мучайте вы человека. Пусть просто пройдёт формулу Муавра со всеми её геометрическими окружениями (а её и их ему не могли не давать) -- и выйдет щастье.

Ewert, эту тему я осваиваю самостоятельно, а учиться начну только в третьей декаде сентября (заочно, поэтому многое придётся изучать самостоятельно).