Собственные числа, степенной метод, скорость сходимости

[TOTAL]

Степенным методом отыскивается максимальное по модулю собственное число симметричной матрицы.
Какова скорость сходимости метода? Квадратичная? Линейная?

[ewert]

Что такое "степенной метод" -- метод прямых итераций, что ли?... Тогда линейная, естественно. И знаменатель геометрической прогрессии, определяющий скорость сходимости, тривиально равен модулю отношения двух наибольших (по модулю) с.ч.

[TOTAL]

Находится как предел отношения $\lambda^{(k)}=\frac{(x_{k+1},x_k)}{(x_{k},x_k)},$ где $x_{k+1}=Ax_k.$
Я тоже считаю сходимость линейной со знаменателем равным квадрату отношения наибольших по модулю.

Но встретил утверждение о якобы квадратичной сходимости, потому и спросил.
(Дескать $\lambda^{(k)}=\lambda_1+O(|\lambda_2/\lambda_1|^{2k})$ означает квадратичную сходимость.)

[ewert]

TOTAL в сообщении #237799 писал(а):

(Дескать $\lambda^{(k)}=\lambda_1+O(|\lambda_2/\lambda_1|^{2k})$ означает квадратичную сходимость.)

Ну это просто безграмотность формулировки -- двойка в показателе не имеет качественного значения, она лишь удваивает скорость линейной сходимости.

А квадратичной будет скорость сходимости обратных итераций с переменными сдвигами (деталей так на вскидку я сейчас не вспомню). А если в качестве сдвигов использовать отношения Релея -- так и вообще, по слухам, кубической, хотя это практически уже и не принципиально.