не получается взять интеграл действуя стандартными методами

[warpten]

есть два похожих интеграла, первый, который находится сразу по окончанию данного абзаца, я могу взять обычным способом, но второй, используя такой же алгоритм, у меня взять не получается. подскажите, пожалуйста, где собака зарыта?

правилльно взятый интеграл (проверял на integrals.wolfram.com)
$\int \frac {5x+1} {x^2+2x+3} = $
$\int \frac {5/2 (2x+2)+1-5} {x^2+2x+3} $ = $
$\frac {5} {2}$ \int \frac {2x+2} {x^2+2x+3} - 4 \int \frac {dx} {x^2+2x+3}$ =$
$\frac 5 2$ ln(x^2+2x+3)-4\int \frac {dx} {(x+1)^2+2} =$
$\frac 5 2$ ln(x^2+2x+3)-\frac 4 {\sqrt 2} arctg\frac{x+1} {\sqrt 2}$ + C $

неправильно взятый интеграл.
$\int \frac {5x+3} {x^2+6x-7} = $
$\int \frac {5/2 (2x+6)+3-15} {x^2+6x-7} $ = $
$\frac {5} {2}$ \int \frac {2x+6} {x^2+6x-7} - 12 \int \frac {dx} {x^2+6x-7}$ =$
$\frac 5 2$ ln(x^2+6x-7)-12\int \frac {dx} {(x+3)^2-4^2} =$
$\frac 5 2$ ln(x^2+6x-7)-arctg\frac {x-3} 4$ + C $

[ewert]

Тут сразу две собаки порыты. Первая -- у Вас преобразование неверно, и останется неверным даже после того, как Вы исправите форматирование. А вторая -- это то, что по стандартному алгоритму требуется вовсе ни чего подобного, а выделение полного квадрата в знаменателе.

[warpten]

я исправил и форматирование, и преобразование, записывая которое, я написал часть из первого интеграла во второй. на основании этого ваш пост тоже требует исправления - так как он основывается на неактуальной информации, вывод из которой пресекает дальнейшие ответы, тогда как как сам не отвечает на поставленный вопрос. тем паче что ваши выводы противоречат моему опыту - первый интеграл был взят как мною, так и роботом с wolfram, что подтверждает справедливость алгоритма. мне хотелось бы знать почему?
как мне кажется, я нашёл зацепку - в знаменатели первого интеграла находится квадратное ур-ие не имеющие действительных корней (дискриминант меньше нуля), в то время как во втором есть два корня. полагаю я буду прав, считая что методы интегрирования для двух этих случаев различны? и если это так, то мне нужен некий алгоритм "выделения полного квадрата в знаменатели"? подправете, если я ошибся - для того что бы его найти, мне нужно знать что именно я ищу.

[CowboyHugges]

$\frac{5x+3}{x^2+6x-7} = \frac{1}{x-1}+\frac {4}{x+7}$
Вот и весь алгоритм

[warpten]

скорее это ответ чем алгоритм.

[Someone]

$$\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac 1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C\qquad(a\neq 0)$$

P.S. Куда-то $dx$ почти во всех интегралах сгинуло...

[ewert]

warpten в сообщении #237580 писал(а):

$-12\int \frac {dx} {(x+3)^2-4^2} =$
$-arctg\frac {x-3} 4$

Если уж арктангенс, то гиперболический; ну и ещё там по мелочи. А вообще слушайте CowboyHugges: первое, с чего нужно всегда начинать -- это попытаться разложить знаменатель на множители и потом дробь на простейшие. И лишь если не выходит -- возиться с полными квадратами.