Почему вращение тела нельзя отобразить вектором?

[dnoskov]

Здравствуйте. Читаю книгу Ю.Г. Павленко "Физика 10-11". В ней

Цитата:

Пример 1.1.1. Почему вращение тела нельзя отобразить вектором?
Положим книгу на стол и введём систему координат $xyz$ с началом в <<центре>> книги. Оси координат направим перпендикулярно трём плоскостям: ось $z$~--- вверх от обложки, ось $x$~--- в правую сторону, перпендикулярно боковому срезу, ось $y$~--- перпендикулярно верхнему срезу книги. Поверните книгу вокруг оси $x$ в положительном направлении, вращая её против направления движения часовой стрелки на угол, равный $90^\circ$. Этому повороту поставим в соответствие <<вектор>> $\vec n_1$, параллельный оси $x$. Аналогичным образом зададим <<векторы>> $\vec n_2$, $\vec n_3$. Теперь убедимся, что в результате двух последовательных поворотов на углы $90^\circ$, задаваемых <<векторами>> $\vec n_1$, $\vec n_2$ и <<векторами>> $\vec n_2, \vec n_1$, конечные положения книги различаются. Следовательно, не выполняются условия 1 и 2.

Под "условиями 1 и 2" имеются в виду условия, которым должны удовлетворять "элементы любой природы", чтобы быть элементами Линейного векторного пространства V (Это приводится в книге чуть ранее). Вот они:
Сложение коммутативно и ассоциативно:

1. $\vec a+\vec b=\vec b +\vec a $
2. $(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$

Так вот, я никак не могу понять:

1. Как так "вектор" $\vec n_1$ может быть параллельным $x$, если мы книгу вращаем вокруг оси $x$?
2. Что значит "Аналогичным образом зададим <<векторы>> $\vec n_2$, $\vec n_3$"? Значит ли это, что эти векторы задаются так же как и первый, но каждый относительно текущего положения книги? Или как-то по-другому?
3. Чем отличается поворот по "вектору" $\vec n_2$ от поворота по вектору $\vec n_2$?
4. Задаётся "вектор" $\vec n_3$, но он не используется. Это опечатка?

Ну и в результате вот таких вот "недоразумений" я не могу вообще понять сути объяснения, которое приводится в книге.

Друзья, объясните пожалуйста мне - дуболому где же здесь суть?

PS. Вобщем-то я только сегодня начал повторять физику, поэтому в голове лёгкий сумбур относительно векторов (особенно в исполнении Павленко), поэтому, если не сложно, дайте мне "пинка" в каком-либо направлении.

PPS. Я понимаю, что это очень далёкий от основной сути курса физики пример, но всё же, для полноты понимания, хотелось бы иметь представление и об этом.

[Парджеттер]

Чушь какая. Вернее не чушь, но в книге "Физика 10-11" никак такого увидеть не ожидал. Суть на самом деле в том, что вектор, задающий вращение - это по сути дела есть ось вращения, а направление его определяется правилом правого винта. Собственно, и все. Ну а дальше сей "аффтар" желал показать то, что если повернуть книгу вокруг разных осей, то если сначала осуществить поворот вокруг оси 1, а потом вокруг оси 2, то книга примет другое положение, нежели то, если повернуть ее сначала относительно оси 2, а потом оси 1. Из этого следует, что $\vec a + \vec b \ne \vec b + \vec a$, т.е. это не векторы.
Потом Вы узнаете, что вращение на конечные углы действительно не векторы, но зато бесконечно малые повороты - вполне. Но это потом.

[gris]

Мне тоже кажется, что автор учебника хотел продемонстрировать некоммутативность поворотов в трёхмерном пространстве.

В двумерном случае всё нормально. Зафиксируем центр и ось поворота тела. Направив вектор вдоль оси поворота и определив его длину численно равной величине поворота не важно в каких единицах с учётом направления поворота, мы действительно можем сопоставить векторы поворотам вокруг фиксированной оси. Последовательности поворотов соответствует сумма векторов. Коммутативность и ассоциативность выполняются.

Но при попытке сопоставить таким же образом (да и любым другим) поворот вокруг произвольной оси векторам оканчивается неудачей. Операция сложения векторов коммутативна, а операция поворота в трёхмерном пространстве нет.

Мне кажется, что в разобранном примере надо ещё сказать, что сопоставление должно быть изоморфизмом (то есть сумме поворотов должна соответствовать сумма векторов). А потом предположить, что каким-то образом удалось найти такое сопоставление, но из-за некомутативности поворотов получаем противоречие.

[Munin]

Вот в этот самый момент было бы очень интересно рассказать человеку, что кроме чисел и векторов, существует ещё много разных математических объектов с "числоподобными" свойствами. Например, повороты образуют самостоятельную разновидность таких объектов: группу поворотов. Причём бывают повороты в двумерном пространстве, в трёхмерном, в $n$-мерном, и все они образуют свои группы.

А группа - это множество объектов, между которыми есть операция, ассоциативная, но, может быть, некоммутативная. Часто эту операцию обозначают не как "плюс", а как "умножить", так что для двух поворотов $g$ и $h$ запись такая: $k=gh$ - поворот, который получается, если сначала сделать поворот $h,$ а затем поворот $g$ (чтение "задом наперёд" - традиция, её можно понять, если представить себе запись функций: $g(h(\text{книга}))$). Так что основное и почти единственное свойство группы записывается так:
1. $(gh)k=g(hk).$

Но кроме того, выясняются две удобные вещи: для каждого поворота есть обратный поворот - на столько же градусов в обратную сторону. Он "отменяет" предыдущий поворот, как будто бы его не было, и обозначается $g^{-1}\colon$
2. $hg^{-1}g=g^{-1}gh=h,\quad hgg^{-1}=gg^{-1}h=h.$
Произведение любого поворота на обратный поворот - это не поворот, а действие "оставить всё на месте". Но его удобно тоже считать поворотом, для полноты картины (чтобы любые два поворота давали в результате поворот, даже если они обратны друг к другу). Такой поворот называется единичным, потому что в смысле записи "как умножение" он ведёт себя как $1.$ Обозначается он иногда $1,$ иногда $e$ - в зависимости от ситуации и вкусов автора. Получается:
3. $g^{-1}g=gg^{-1}=1,\quad 1g=g1=g.$

И вторая удобная вещь, очень важная - это то, что можно "посчитать" все эти повороты. То есть каждый поворот можно описать несколькими числами, аналогично тому, как векторы задаются координатами; и существуют правила, по которым можно найти $g^{-1}$ и $gh.$ Одна неприятность: эти правила посложнее, чем для векторов (это правила умножения матриц, по сути, если о них слышали), так что их на данном этапе рановато изучать. Но важно понимать, что сами по себе расчёты сделать можно, и не обязательно каждый раз, чтобы найти результат каких-то поворотов, вертеть в руках книгу или другой предмет.

-- 21.08.2009 11:45:26 --

gris в сообщении #236677 писал(а):

В двумерном случае всё нормально.

Ну не очень-то. Вы столкнётесь со свойствами типа $120^{\circ}+120^{\circ}=-120^{\circ},$ которые всё равно придётся объяснять.

gris в сообщении #236677 писал(а):

Мне кажется, что в разобранном примере надо ещё сказать, что сопоставление должно быть изоморфизмом

Не вводя понятие изоморфизма?

[dnoskov]

Цитата:

Вот в этот самый момент было бы очень интересно рассказать человеку, что кроме чисел и векторов, существует ещё много разных математических объектов с "числоподобными" свойствами.

А и действительно, там есть намёки на то, что помимо векторов и скаляров могут быть другие объекты. Но, т.к. это самая первая тема в книге (тема так и называется "Скаляры и векторы"), да и к тому же вводная (в ней по-сути очень мало вещей, которые имеют отношение конкретно к физике. Мне ещё помнится, что в мою бытность учеником 10 класса, я обратил внимание на то, что на первых 2-3 уроках физики мы повторили всю математику, которую знали, и вкратце прошли то, чего ещё не знали по математике), да ещё и для 10-11 классов, то, думаю, перегружать и без того перегруженную понятиями вводную тему было бы как-то "с лишком". Но надо заметить, что сей пример (1.1.1.) написан отвратительно. Можно было написать чуть длиннее, но всё было бы понятно с первого раза (ну или хотя бы оси обозначить не xyz, а 123 (т.е. таки можно претендовать на обнаружение опечатки, серьёзно затрудняющей понимание)).

Но, после ваших объяснений, всё встало на свои места. Я даже не знаю, что бы я без вас делал.

Вобщем СпасиБо огромное!

[Munin]

Вообще между физикой и математикой есть очень неудобный перекос. Чтобы изучать физику, надо знать много разной и глубокой математики. Но изучают их одновременно, так что в результате физику часто объясняют "на пальцах", или даже дают то, чего по математике ещё не проходили. В результате и физика понимается хуже, и по математике можно испортить понимание нестрогими, сумбурными и поверхностными сведениями. А вообще, плохого не будет, если вы математику будете читать самостоятельно и с опережением.

[dnoskov]

Munin

Цитата:

А вообще, плохого не будет, если вы математику будете читать самостоятельно и с опережением.

А у меня сейчас другого выхода нет. Я решил поступить (не попробовать, а поступить) на следующий год в ВУЗ. Сейчас для этого, как известно, надо сдавать ЕГЭ, а в знаниях своих я, при проверке, обнаружил серьёзные пробелы. И, так как я хочу поступить в ВУЗ, чтобы там учиться (да, в наше время это звучит как нонсенс ), а не потратить деньги (которых у меня, к слову сказать, и нет), то мне просто необходимо знать и понимать смысл содержания школьной программы по физике и математике и, я так понимаю, даже чуть более того. $\Rightarrow$ "я на этом форуме буду частый гость"

ЗЫ. Конечно понятно, что для какой-либо успешной сдачи ЕГЭ, понимать никакого или почти никакого смысла не нужно. Но, как видно из текста выше, дело не только в ЕГЭ.

ЗЗЫ. В своё время я в ВУЗ не поступил (да, если честно, и не особо-то поступал) потому что не понимал что это и зачем это нужно (и ничего смешного в этом нет).

[Nik_Svan]

Munin в сообщении #236678 писал(а):

Одна неприятность: эти правила посложнее, чем для векторов (это правила умножения матриц, по сути, если о них слышали), так что их на данном этапе рановато изучать.

Для некоторых (с неаналитически складом ума) понятие группы усваивается довольно тяжко.

[Munin]

Nik_Svan в сообщении #237390 писал(а):

Для некоторых (с неаналитически складом ума) понятие группы усваивается довольно тяжко.

Тем раньше его надо дать. Усвоение имеет много общего с привычкой.