Вот в этот самый момент было бы очень интересно рассказать человеку, что кроме чисел и векторов, существует ещё много разных математических объектов с "числоподобными" свойствами. Например, повороты образуют самостоятельную разновидность таких объектов: группу поворотов. Причём бывают повороты в двумерном пространстве, в трёхмерном, в
-мерном, и все они образуют свои группы.
А группа - это множество объектов, между которыми есть операция, ассоциативная, но,
может быть, некоммутативная. Часто эту операцию обозначают не как "плюс", а как "умножить", так что для двух поворотов
и
запись такая:
- поворот, который получается, если сначала сделать поворот
а затем поворот
(чтение "задом наперёд" - традиция, её можно понять, если представить себе запись функций:
). Так что основное и почти единственное свойство группы записывается так:
1.
Но кроме того, выясняются две удобные вещи: для каждого поворота есть обратный поворот - на столько же градусов в обратную сторону. Он "отменяет" предыдущий поворот, как будто бы его не было, и обозначается
2.
Произведение любого поворота на обратный поворот - это не поворот, а действие "оставить всё на месте". Но его удобно тоже считать поворотом, для полноты картины (чтобы любые два поворота давали в результате поворот, даже если они обратны друг к другу). Такой поворот называется единичным, потому что в смысле записи "как умножение" он ведёт себя как
Обозначается он иногда
иногда
- в зависимости от ситуации и вкусов автора. Получается:
3.
И вторая удобная вещь, очень важная - это то, что можно "посчитать" все эти повороты. То есть каждый поворот можно описать несколькими числами, аналогично тому, как векторы задаются координатами; и существуют правила, по которым можно найти
и
Одна неприятность: эти правила посложнее, чем для векторов (это правила умножения матриц, по сути, если о них слышали), так что их на данном этапе рановато изучать. Но важно понимать, что сами по себе расчёты сделать можно, и не обязательно каждый раз, чтобы найти результат каких-то поворотов, вертеть в руках книгу или другой предмет.
-- 21.08.2009 11:45:26 --В двумерном случае всё нормально.
Ну не очень-то. Вы столкнётесь со свойствами типа
которые всё равно придётся объяснять.
Мне кажется, что в разобранном примере надо ещё сказать, что сопоставление должно быть изоморфизмом
Не вводя понятие изоморфизма?