2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перевод геометрических объектов из одной метрики в другую
Сообщение23.08.2009, 20:55 
Аватара пользователя


23/08/09
3
Суть и общее понятие проблемы:
Зайду от печки: Возможно вы видели фильм Склярова- Геометрия пространства.Так там в самом начале проводят нехитрую операцию- изображают в 3ёх мерном пространстве минковского обычную сферу, аналог которой представлен там в виде двухполосного гиперболоида, два "колпака" которого не связаны между собой.
Так вот в чем вопрос- как они это сделали?
Ну, в плане, хотелось бы услышать какую нибудь формулу, или пошаговую инструкцию как это сделать и по возможности из любой метрики в любую.А в идиале мечталось бы о программе позволяющей проделывать такие операции со всеми платановыми телами, да и вообще с любыми объектами. (Или это можно только со сферой?)

Жду ответов. :D Важно! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перевод геометрических объектов из одной метрики в другую
Сообщение24.08.2009, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Там ничего из метрики в метрику не переводится. Просто берутся координаты точек в пространстве Минковского, и рисуются точки с теми же координатами в нашем обычном пространстве.

Сфера, о которой вы говорите, есть квадратичная поверхность, заданная уравнением $t^2-x^2-y^2=R^2$ ($z$ отброшена ради трёхмерности). Видно, что это аналог трёхмерной сферы $x^2+y^2+z^2=R^2.$ Каким точкам соответствует эта поверхность в трёхмерных координатах, изучается в аналитической геометрии, это и будет двухполостной гиперболоид.

Платоновы тела - с ними сложнее. Платоновы тела в евклидовом пространстве построены на точках, принадлежащих сфере; но кроме того, эти точки ещё и связаны некоторой дискретной симметрией, являющейся подсимметрией симметрии сферы. Например, точки, образующие вершины куба, можно вращать вокруг любой из этих точек - будет симметрия $\mathbb{Z}_3,$ и вокруг центра любой грани - будет $\mathbb{Z}_4.$ А на псевдосфере в пространстве Минковского оказывается, что таких дискретных симметрий можно сделать сколько угодно, для любого натурального числа. По сути, это то же самое, что замостить плоскость Лобачевского правильными $n$-угольниками - это возможно для любого $n.$ Поверхность псевдосферы имеет внутреннюю геометрию Лобачевского, так что вершины такого паркета и будут вершинами "псевдо-Платонова тела". Понятно, что каждое такое тело оказывается бесконечным, как и сама псевдосфера.

С любым объектом - результат ещё более неопределённый.

Кроме того, кроме обычной псевдосферы (двухполостной гиперболоид), возможна ещё и "неправильная" $t^2-x^2-y^2=-R^2$ - однополостной гиперболоид. На ней вся геометрия хуже, и как на ней могут быть устроены аналоги Платоновых тел - не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group