Там ничего из метрики в метрику не переводится. Просто берутся координаты точек в пространстве Минковского, и рисуются точки с теми же координатами в нашем обычном пространстве.
Сфера, о которой вы говорите, есть квадратичная поверхность, заданная уравнением
(
отброшена ради трёхмерности). Видно, что это аналог трёхмерной сферы
Каким точкам соответствует эта поверхность в трёхмерных координатах, изучается в аналитической геометрии, это и будет двухполостной гиперболоид.
Платоновы тела - с ними сложнее. Платоновы тела в евклидовом пространстве построены на точках, принадлежащих сфере; но кроме того, эти точки ещё и связаны некоторой дискретной симметрией, являющейся подсимметрией симметрии сферы. Например, точки, образующие вершины куба, можно вращать вокруг любой из этих точек - будет симметрия
и вокруг центра любой грани - будет
А на псевдосфере в пространстве Минковского оказывается, что таких дискретных симметрий можно сделать сколько угодно, для любого натурального числа. По сути, это то же самое, что замостить плоскость Лобачевского правильными
-угольниками - это возможно для любого
Поверхность псевдосферы имеет внутреннюю геометрию Лобачевского, так что вершины такого паркета и будут вершинами "псевдо-Платонова тела". Понятно, что каждое такое тело оказывается бесконечным, как и сама псевдосфера.
С любым объектом - результат ещё более неопределённый.
Кроме того, кроме обычной псевдосферы (двухполостной гиперболоид), возможна ещё и "неправильная"
- однополостной гиперболоид. На ней вся геометрия хуже, и как на ней могут быть устроены аналоги Платоновых тел - не знаю.