Перевод геометрических объектов из одной метрики в другую

[Aleksei III]

Суть и общее понятие проблемы:
Зайду от печки: Возможно вы видели фильм Склярова- Геометрия пространства.Так там в самом начале проводят нехитрую операцию- изображают в 3ёх мерном пространстве минковского обычную сферу, аналог которой представлен там в виде двухполосного гиперболоида, два "колпака" которого не связаны между собой.
Так вот в чем вопрос- как они это сделали?
Ну, в плане, хотелось бы услышать какую нибудь формулу, или пошаговую инструкцию как это сделать и по возможности из любой метрики в любую.А в идиале мечталось бы о программе позволяющей проделывать такие операции со всеми платановыми телами, да и вообще с любыми объектами. (Или это можно только со сферой?)

Жду ответов. Важно!

[Munin]

Там ничего из метрики в метрику не переводится. Просто берутся координаты точек в пространстве Минковского, и рисуются точки с теми же координатами в нашем обычном пространстве.

Сфера, о которой вы говорите, есть квадратичная поверхность, заданная уравнением $t^2-x^2-y^2=R^2$ ($z$ отброшена ради трёхмерности). Видно, что это аналог трёхмерной сферы $x^2+y^2+z^2=R^2.$ Каким точкам соответствует эта поверхность в трёхмерных координатах, изучается в аналитической геометрии, это и будет двухполостной гиперболоид.

Платоновы тела - с ними сложнее. Платоновы тела в евклидовом пространстве построены на точках, принадлежащих сфере; но кроме того, эти точки ещё и связаны некоторой дискретной симметрией, являющейся подсимметрией симметрии сферы. Например, точки, образующие вершины куба, можно вращать вокруг любой из этих точек - будет симметрия $\mathbb{Z}_3,$ и вокруг центра любой грани - будет $\mathbb{Z}_4.$ А на псевдосфере в пространстве Минковского оказывается, что таких дискретных симметрий можно сделать сколько угодно, для любого натурального числа. По сути, это то же самое, что замостить плоскость Лобачевского правильными $n$-угольниками - это возможно для любого $n.$ Поверхность псевдосферы имеет внутреннюю геометрию Лобачевского, так что вершины такого паркета и будут вершинами "псевдо-Платонова тела". Понятно, что каждое такое тело оказывается бесконечным, как и сама псевдосфера.

С любым объектом - результат ещё более неопределённый.

Кроме того, кроме обычной псевдосферы (двухполостной гиперболоид), возможна ещё и "неправильная" $t^2-x^2-y^2=-R^2$ - однополостной гиперболоид. На ней вся геометрия хуже, и как на ней могут быть устроены аналоги Платоновых тел - не знаю.