Задачка по ТВ: матожидания, измеримость.

[IE]

Доказать, что если

$$\forall A \in \sigma (\xi) \int\limits_A\xi dP = \int\limits_A\eta dP$$

и

$$\forall B \in \sigma (\eta) \int\limits_B\xi dP = \int\limits_B\eta dP$$

, то $\xi=\eta$ (п.н.)

Была мысль попробовать метод подходящих множеств, но ничего хорошего не получилось.

[--mS--]

Можно рассмотреть сигма-алгебру $\mathcal F$, порождённую объединением $\sigma(\xi)\cup \sigma(\eta)$, и показать, что УМО $\mathsf E(\xi | \mathcal F)=\xi$ п.н. совпадает п.н. с $\eta$: $\mathsf E(\xi | \mathcal F)=\eta$ п.н.

[Alexey1]

А что если сначала рассмотреть, те множества $A \in \sigma (\xi)$, на которых $\xi-\eta \geq 0$. Доказательство, что на этих множествах с.в. равны стандартное (если $X \geq 0$ и $EX=0$, то $X=0$ п.н.). Затем, аналогично для отрицательных.

[IE]

--mS--, Alexey1, большое спасибо!

-- Вс авг 23, 2009 17:18:57 --

Alexey1
Докажите, что такие множества есть.

[Alexey1]

В каком смысле есть? Возьмите атомы из $\sigma (\xi)$. На них с.в. постоянна.

[IE]

Alexey1 в сообщении #237297 писал(а):

В каком смысле есть? Возьмите атомы из $\sigma (\xi)$. На них с.в. постоянна.

а если все атомы только нулевой меры?

[Alexey1]

А что то меняет, если они нулевой меры? Всё равно же существуют.

[IE]

Alexey1 в сообщении #237307 писал(а):

А что то меняет, если они нулевой меры? Всё равно же существуют.

ну, если величины равны (п.н.) на множестве меры нуль, то это мало помогает, меня просто смущает, что в вашем решении не используется то, что равенство интегралов верно и для множеств из $\sigma(\eta)$.

-- Вс авг 23, 2009 18:14:55 --

А как доказать, что $E(\xi|\mathscr{F})=\eta$ (п.н.), что-то ничего хорошего в голову не приходит((
Пусть $\mathscr{G}=\sigma(\xi)\cup\sigma(\eta)$ и $\mathscr{F}=\sigma(\mathscr{G})$, а $\widetilde{\mathscr{A}}=\{A: E(\xi I_A)=E(\eta I_A)\}$, $\mathscr{F}\subseteq (? )\widetilde{\mathscr{A}}\subseteq\mathscr{G}, \widetilde{\mathscr{A}}$ - монотонный класс, следовательно $\widetilde{\mathscr{A}}= \mathscr{F} \Rightarrow$ (через определение УМО) $E(\xi|\mathscr{F})=\eta$ (п.н.)

[Alexey1]

Цитата:

ну, если величины равны (п.н.) на множестве меры нуль, то это мало помогает, меня просто смущает, что в вашем решении не используется то, что равенство интегралов верно и для множеств из .

Я привел пример для $\sigma(\xi)$, таким же образом надо сделать и для $\sigma(\eta)$, чтобы показать, что равенство выполняется для множеств из обеих сигма-алгебр.
Мне не совсем понятен Ваш аргумент по поводу существования таких множеств. Если множества $a=\{A: \xi (w)-\eta (w) \geq 0, w \in A\}, b=\{A: \xi(w)-\eta(w)<0, w \in A\}$, и мера этих множеств равна нулю, то тогда первый интеграл который написан в первом Вашем сообщении берётся по нулевой мере и значит равен 0.

[--mS--]

IE в сообщении #237312 писал(а):

А как доказать, что $E(\xi|\mathscr{F})=\eta$ (п.н.), что-то ничего хорошего в голову не приходит((

Метод подходящих множеств вроде должен работать - можно доказать, что множество $\widetilde{\mathscr{A}}$ является сигма-алгеброй и, значит, содержит $\mathscr F$. Прошу прощения, просто терминология "монотонных классов" мне не очень близка - "мы диалектику учили не по Гегелю"

Для Alexey1: множество $\{\omega~:~ \xi(\omega)-\eta(\omega) \geqslant 0\}$ априори может не принадлежать ни $\sigma(\xi)$, ни $\sigma(\eta)$. Таким образом, равенство нулю матожидания разности по этому множеству ниоткуда не следует.

[Alexey1]

Для --mS--:
Возьмём $A \in \sigma(\xi)$. Предположим $\xi(w)-\eta(w) \geq 0$, тогда доказывать нечего.
Пусть $\xi(w)-\eta(w), w \in A$ не является знакопостоянной, тогда или
1. $A$ является атомом, в этом случае интеграл не имеет смысла, так как на атомах с.в. должна быть постоянна.
2. $A=A' \cup A''$, где $\xi(w)-\eta(w) \geq 0, w \in A'$, $\xi(w)-\eta(w) < 0, w \in A''$.
Если таких $A', A' \in \sigma(\xi)'$ нет, не удовлетворяют таким условиям, то имеем уже описанное для $A$, только теперь используем тот же аргумент но для множества (или $A'$ или $A''$) где с.в. не постоянна.
Или Вы что-то другое имели ввиду?

[IE]

--mS-- в сообщении #237345 писал(а):

IE в сообщении #237312 писал(а):

А как доказать, что $E(\xi|\mathscr{F})=\eta$ (п.н.), что-то ничего хорошего в голову не приходит((

... можно доказать, что множество $\widetilde{\mathscr{A}}$ является сигма-алгеброй и, значит, содержит $\mathscr F$.

Ну вроде можно обойтись и монотонными классами, что-то мне подсказывает, что доказывать напрямую, что $\widetilde{\mathscr{A}}$ является сигма-алгеброй, не будет сильно проще.

[--mS--]

Alexey1 в сообщении #237351 писал(а):

Для --mS--:
2. $A=A' \cup A''$, где $\xi(w)-\eta(w) \geq 0, w \in A'$, $\xi(w)-\eta(w) < 0, w \in A''$.
Если таких $A', A' \in \sigma(\xi)'$ нет, не удовлетворяют таким условиям, то имеем уже описанное для $A$.
Или Вы что-то другое имели ввиду?

1) Что такое $\sigma(\xi)'$?
2) Множества $A'$ и $A''$ не принадлежат $\sigma(\xi)$ и $\sigma(\eta)$. Ваши действия?

[Alexey1]

Опечатка, должно быть $\sigma(\xi)$.
Если не принадлежат, то это подразумевает (исключая, что $A$ атом), что существуют другие множества из $\sigma(\xi)$, объединение которых даёт $A$ и следовательно хотя бы одно из них будет таким, что с.в. на нем не будет иметь постоянного знака. Далее используем тот же аргумент, что приведён для $A$, но теперь уже для этого множества (либо атом, либо объединение событий).

[--mS--]

Alexey1 в сообщении #237361 писал(а):

Если не принадлежат, то это подразумевает (исключая, что $A$ атом), что существуют другие множества из $\sigma(\xi)$, объединение которых даёт $A$

Доказательство?