Определитель 3х3 ( натуральный)

[e7e5]

Возник такой вопросик:

Составлются определители 3х3 из натуральных чисел $1,... N$
$1 2 3$ $10 11 12$ $19 20 21$
$4 5 6$ $13 14 15$ $22 23 24$
$7 8 9$ $16 17 18$ $25 26 27$ ...

Для наперед заданного $N$ ( $N/9$ определителей) найти число определителей равных нулю.

Ясно, что в первой сотне натуральных чисел будет всего два определителя, равных нулю ( например второй по счету). Во второй тоже два. Есть ли здесь какая-то зависимость?

[Mathusic]

Почему так мало определителей?
Вот например:

1 2 3
4 8 12
x y z

x,y,z-любые

-- Сб авг 22, 2009 20:05:41 --

Да и к-во определителей будет $N!C_N^9.$ Или я условие неправильно понял?

[AD]

Mathusic в сообщении #237077 писал(а):

Или я условие неправильно понял?

Я, кажется, понял условие. Ну просто берём натуральные числа, и складываем из нихопределители по фиксированному правилу, понятному из приведенного примера: первый

1 2 3
4 5 6
7 8 9

, ... , $N$-й будет

9N-8 9N-7 9N-6
9N-5 9N-4 9N-3
9N-2 9N-1 9N

, ... и т.д.,
и предлагается описать распределение среди них нулевых.

[Mathusic]

AD в сообщении #237119 писал(а):

Mathusic в сообщении #237077 писал(а):

Или я условие неправильно понял?

Я, кажется, понял условие. Ну просто берём натуральные числа, и складываем из нихопределители по фиксированному правилу, понятному из приведенного примера: первый

1 2 3
4 5 6
7 8 9

, ... , $N$-й будет

9N-8 9N-7 9N-6
9N-5 9N-4 9N-3
9N-2 9N-1 9N

, ... и т.д.,
и предлагается описать распределение среди них нулевых.

Всё понял, а я-то думал, что это у автора не три определителя, а один. Тогда задача сильно упрощается - приводим к треугольному виду при помощи ЭПС, смотрим, когда есть нули на диагонали.

-- Вс авг 23, 2009 15:40:16 --

Хотя тут всё еще проще. Все определители имеют вид

$$\begin{vmatrix} n+1 & n+2 & n+3 \\ n+4 & n+5 & n+6 \\ n+7 & n+8 & n+9 \end{vmatrix}.$$

Вычитаем первую строку из дву остальных:

$$\begin{vmatrix} n+1 & n+2 & n+3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix}=0 (\forall n \in \mathbb{N}.)$$

Странно, что вы так мало нулей насчитали.

[e7e5]

Mathusic в сообщении #237214 писал(а):

Хотя тут всё еще проще. Все определители имеют вид

$$\begin{vmatrix} n+1 & n+2 & n+3 \\ n+4 & n+5 & n+6 \\ n+7 & n+8 & n+9 \end{vmatrix}.$$

Вычитаем первую строку из дву остальных:

$$\begin{vmatrix} n+1 & n+2 & n+3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix}=0 (\forall n \in \mathbb{N}.)$$

Странно, что вы так мало нулей насчитали.

Странно. Посчитал этот определитель, получилось, что какое бы не взять натуральное $n$ определитель равен нулю.
А считал в Excel, вроде и число знаков после запятой выставлял, а "точно нулей" получалось мало... Почему так?

[AD]

e7e5 в сообщении #237271 писал(а):

А считал в Excel, вроде и число знаков после запятой выставлял, а "точно нулей" получалось мало...

Определитель целочисленной матрицы есть целое число, так что сколько знаков ни выставляй - нуль от ненуля отличить легко.

[e7e5]

AD в сообщении #237272 писал(а):

Определитель целочисленной матрицы есть целое число, так что сколько знаков ни выставляй - нуль от ненуля отличить легко.

Пожалуйста попробуйте сами в Excel посчитать. Чтобы в ячейке получилось $0,00000000000...$ - такое крайне редко бывыает, но иногда бывает.
Чаще после нулей цифры какие-то ( например для первого определителя $0,000000000000000666133814775094$, для второго именно $0$)


Почему так случается?

[Mathusic]

e7e5 в сообщении #237275 писал(а):

AD в сообщении #237272 писал(а):

Определитель целочисленной матрицы есть целое число, так что сколько знаков ни выставляй - нуль от ненуля отличить легко.

Пожалуйста попробуйте сами в Excel посчитать. Чтобы в ячейке получилось $0,00000000000...$ - такое крайне редко бывыает, но иногда бывает.
Чаще после нулей цифры какие-то ( например для первого определителя $0,000000000000000666133814775094$, для второго именно $0$)


Почему так случается?

Потому что у ВСЁ определители указанного вами вида равны нулю. Я ж написал почему - есть две пропорциональные строки.

[e7e5]

Mathusic в сообщении #237278 писал(а):

Потому что у ВСЁ определители указанного вами вида равны нулю. Я ж написал почему - есть две пропорциональные строки.

Мне это понятно. На "бумаге" так и есть, сам убедился.

А вот компьютер не считает так!

[Mathusic]

e7e5 в сообщении #237281 писал(а):

Mathusic в сообщении #237278 писал(а):

Потому что у ВСЁ определители указанного вами вида равны нулю. Я ж написал почему - есть две пропорциональные строки.

Мне это понятно. На "бумаге" так и есть, сам убедился.

А вот компьютер не считает так!

Потому что любые расчёты производятся с определённой точностью.

[e7e5]

Вообщем это понятно, но не раскрывает истинную причину.

Сами посудите, среди определителей, составленных из двух сотни натуральных чисел, всего лишь четыре точно равны нулю!
И чем выделились эти определители, что Excel их считает точно равными нулю?

Вот какова вероятность появления определителей точно равных нулю , если взять первые $N/9$ определителей ?

[AD]

e7e5 в сообщении #237275 писал(а):

для первого определителя $0,000000000000000666133814775094$

OpenOffice Calc насчитал ровно $-0{,}00000000000000095171$. Что в полтора раза хуже!!! Всё, пошел ексель покупать

[Xaositect]

e7e5 в сообщении #237291 писал(а):

Вот какова вероятность появления определителей точно равных нулю , если взять первые определителей ?

На самом деле все они равны нулю.

Но если считать их на компютере, используя арифметику с плавающей точкой (вместо длинной рациональной, которую здесь нужно использовать), то результат будет близок к нулю и будет зависеть от алгоритма вычисления определителя, от его конкретной реализации (т.е. программного кода и того, каким компилятором и с какими оптимизациями он скомпилирован) и от конкретной платформы (модели процессора)

[e7e5]

Xaositect в сообщении #237300 писал(а):

Но если считать их на компютере, используя арифметику с плавающей точкой (вместо длинной рациональной, которую здесь нужно использовать), то результат будет близок к нулю и будет зависеть от алгоритма вычисления определителя, от его конкретной реализации (т.е. программного кода и того, каким компилятором и с какими оптимизациями он скомпилирован) и от конкретной платформы (модели процессора)

Вот такой опыт я и ставил, пока ждал товарища на компьютере с Excel
Результаты такого опыта могут как-то помочь в оценке качества вычислительной системы?

[Mathusic]

А по какому алгоритму вы считаете? У меня нуль выдаёт при любых $N$. файл