Некоммутативность возведения в степень

[Mathusic]

ShMaxG в сообщении #237061 писал(а):

Mathusic
На самом деле, $\[\left( {e + t} \right)^{e - t} > \left( {e - t} \right)^{e + t} \]$ при $\[ t \in \left( {0;e - 1} \right) \] $. Скорость убывания "против оси абсцисс" будет как раз больше.

При $\[y \leqslant 2e - x\]$ все понятно.

$\[ \frac{x} {{\ln x}} = a \] $ Mathematica решает так:

$\[ x = - a\operatorname{ProductLog} \left[ { - \frac{1} {a}} \right] \]$, где $\[ \operatorname{ProductLog} \left[ z \right] \] $ - это решение уравнения $\[ z = we^w \]$ относительно $w$.

Кароче, такие вещи - только численно.

Да, всё верно, у меня опечатка. Там же должно быть $f(e-t)>f(e+t).$

[STilda]

Vallav в сообщении #236996 писал(а):

Правильные бинарные операции:
операция "сильнее" умножения
$a\otimes b=exp(ln(a)*ln(b))$
операция "слабее" сложения
$a\oplus b=ln(exp(a)+exp(b))$
Аксиомы алгебраичского поля выполняются для пар операций
$\oplus ,+;+,*;*,\otimes$
где левая в паре - операция сложения поля, правая -
операция умножения поля.
так:
$(a*b)\otimes c=(a\otimes c)*(b\otimes c)$
$(a\oplus b)+c=(a+c)\oplus (b+c)$
А возведение в степень - не совсем правильная бинарная
операция.

Если, например, взять пару $\oplus ,+;$, то какой ряд подразумевается для $exp(x)$?

[Vallav]

Nxx в сообщении #237011 писал(а):

Но именно операция возведения в степень общепринята, потому что возведение в степень - это многократное умножение на себя, также как умножение - это многократное сложение с собой. Соответственно, вопрос - почему многократное умножение на себя не коммутативно? Чем в этом плане умножение отличается от сложения?

Наверно потому, что природа не любит многократных
повторений. Два раза выгорело - и хватит.
То же самое и с многомерностью.
Есть действительные числа, образующие алгебраическое
поле, есть упорядоченные двойки действительных чисел
( комплексные ), образующие алгебраическое поле.
А вот дальше - увы, облом.

-- Вс авг 23, 2009 12:05:51 --

Xaositect в сообщении #237023 писал(а):

Определение множества действительных чисел через постулаты (как архимедова упорядоченного поля) плохо тем, что это поле все равно надо строить, а для этого придется все равно использовать либо бесконечные дроби, либо сечения, либо фундаментальные последовательности.

Можно проще.
Числа - это специальным образом построенные обозначения
элементов алгебраического поля в виде строк символов.
При этом операции с элементами поля сводятся к
операциям преобразования строк.
Архимедовость при этом не нужна, если элементы сравнивать
относительно оперрации сложения.
Но нужно дополнительное свойство для операции сложения - многократное прибавление еденичного
элемента не приводит к зацикливанию.
Упорядоченность - получается определениями ( без постулатов ).
Действительные числа вводятся исключительно для
удобства - чтобы не возиться с пределами сходящихся
рациональных последовательностей - их ( пределы )
объявляют принажлежащими полю.
Комплексные - одним постулатом - есть элемент,
квадрат которого равен -1.

[grisania]

Vallav в сообщении #237201 писал(а):

Nxx в сообщении #237011 писал(а):

-----------------------------------------------------
То же самое и с многомерностью.
Есть действительные числа, образующие алгебраическое
поле, есть упорядоченные двойки действительных чисел
( комплексные ), образующие алгебраическое поле.
А вот дальше - увы, облом.
--------------------------------------------------

А есть ли упорядоченные двойки действительных чисел $(a,b)$, образующих коммутативную полугруппу?

[arqady]

Между прочим, если $x^y=y^x$ для различных положительных $x$ и $y$, то $x^y>e^e$.

[Mathusic]

grisania в сообщении #237205 писал(а):

А есть ли упорядоченные двойки действительных чисел $(a,b)$, образующих коммутативную полугруппу?

Да полно, даже $n$-ки и бесконечные наборы. Чем не устраивает аддитивная группа арифм. векторного пространства $\mathbb{R}^2$, группа матриц (по двум даже операциям) и т.д. ?

[Xaositect]

Vallav в сообщении #237201 писал(а):

Можно проще.Числа - это специальным образом построенные обозначенияэлементов алгебраического поля в виде строк символов.При этом операции с элементами поля сводятся коперациям преобразования строк.Архимедовость при этом не нужна, если элементы сравниватьотносительно оперрации сложения.Но нужно дополнительное свойство для операции сложения - многократное прибавление еденичногоэлемента не приводит к зацикливанию. Упорядоченность - получается определениями ( без постулатов ).Действительные числа вводятся исключительно дляудобства - чтобы не возиться с пределами сходящихсярациональных последовательностей - их ( пределы )объявляют принажлежащими полю.Комплексные - одним постулатом - есть элемент,квадрат которого равен -1.

Я Вас немного не понял.

Вы имеете в виду, что сначала мы берем простое поле характеристики 0(т.е. \mathbb{Q}), а потом производим его пополнение? Ну так и я про то же самое говорю.

[STilda]

При сложении размерность сохраняется. При умножении же меняется размерность.
Поэтому 2+2+2=3+3, но 2*2*2 != 3*3.

[grisania]

Mathusic в сообщении #237219 писал(а):

grisania в сообщении #237205 писал(а):

А есть ли упорядоченные двойки действительных чисел $(a,b)$, образующих коммутативную полугруппу?

Да полно, даже $n$-ки и бесконечные наборы. Чем не устраивает аддитивная группа арифм. векторного пространства $\mathbb{R}^2$, группа матриц (по двум даже операциям) и т.д. ?

Это я знаю, но все они имеет две операции, то есть это кольца. Но как вложить плоскость в мультипликативную полугруппу обычных чисел? Что об этом известно?

[Mathusic]

grisania в сообщении #237205 писал(а):

А есть ли упорядоченные двойки действительных чисел $(a,b)$, образующих коммутативную полугруппу?

$ (a,b)\circ(c,d) \to (ac,bd)$. Не подойдёт?

[grisania]

Mathusic в сообщении #237246 писал(а):

grisania в сообщении #237205 писал(а):

А есть ли упорядоченные двойки действительных чисел $(a,b)$, образующих коммутативную полугруппу?

$ (a,b)\circ(c,d) \to (ac,bd)$. Не подойдёт?

Не очень, хотелось бы в подмножество, например, числа вида $4k+1$ образуют коммутативную мультипликативную полугруппу

[Профессор Снэйп]

shust в сообщении #236910 писал(а):

Почему действие возведение в степень некоммутативно?

Оно, сцуко, не только не коммутативно, но ещё и не ассоциативно

$$ 3^9 = (3^3)^3 \neq 3^{(3^3)} = 3^{27} $$

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #238092 писал(а):

shust в сообщении #236910 писал(а):

Почему действие возведение в степень некоммутативно?

Оно, сцуко, не только не коммутативно, но ещё и не ассоциативно

$$ 3^9 = (3^3)^3 \neq 3^{(3^3)} = 3^{27} $$

Зато распределяет умножение.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #238092 писал(а):

$$3^9 = (3^3)^3$$

Что-то я несколько в этом засомневался...

[AGu]

ewert в сообщении #238107 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #238092 писал(а):

$3^9 = (3^3)^3$

Что-то я несколько в этом засомневался...

Ну вот, довели человека. И меня тоже довели. Гляжу — и не понимаю, ну как такие разные выражения могут быть равны? Перемножил на калькуляторе — вроде, равны. Фигня какая-то...