Задачи на движение тела по окружности

[viktorkrug]

Здравствуйте. Не могли бы подсказать по задачам по движению по окружности. Прочитал 3 задачи и не совсем понятно решение. В задачах берется формула центростремительного ускорения, но как ее применили не совсем понятно. Про мотоциклиста.
Какова дослжна быть наименьшая скорость мотоцикла для того чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального кругового цилиндра радиусом R = 6 м по горизонтальной окружности. Кожффициент трения скольжения между шинами и поверхностью целиндра $\gamma = 0,4$.
Решение. На систему человек - мотоцикл действуют три силы: сила реакции $N$, перпендикулярная поверхности цилиндра, сила тяжести mg, и сила трения покоя $F_tp$. Согласно второму закону Ньютона $ma=mg+N+F_tp$. Запишем проекции этого уравнения на три взаимно перпендикулярные оси.

$\vec{a} =\frac {dv} {dt}\vec{e} + \frac {v^2} {R}\vec{n} + 0*\vec{e}$.
Ур-е $m\frac {dv} {dt} = F.. , 0=0,$ остальные

$m\frac {v^2} {R} = N$,
$0 = F_tp - mg$,
Для движения с наименьшей скоростью мы должны положить $F_tp = \gamma N$.
Из (1), (2) находится наменьшая скорость.

Применяется формула центростремительного ускорения, и она равна силе N, сила давления выбирается чтобы сила трения была не меньше mg. Почему получается положительная величина ускорения, величина ускорения равна силам перпендикулярным окружности (реакция опоры N равна противодействующей сумма сил равна нулю).
Спасибо.

[Андрей123]

А что именно Вам непонятно? Написано все верно(за исключением некоторых описок).

[viktorkrug]

Т.е. ускорение равно силе реакции опоры, т.е. противодействующей силы нет, сила опоры ведь обычно противодействующая силы давления. И движение получается благодаря одной силе реакции опоры.
Спасибо.

[PapaKarlo]

viktorkrug, в данном случае сила реакции опоры тоже равна противодействующей силе - 3-й закон Ньютона никто не отменял. Вы путаете силу давления тела, лежащего на горизонтальной опоре с силой тяжести, действующей на тело, эти две силы равны, однако это две разные силы. В случае мотоциклиста одна из этих сил - сила тяжести - действует в другом направлении, но вторая сила - сила давления мотоциклиста на опору - остается. И причина возникновения этой силы та же самая - электромагнитное взаимодействие молекул в соприкасающихся областях тела и опоры.

Чтобы понять, почему сила реакции опоры равна центростремительной силе, надо рассмотреть все силы, действующие на мотоциклиста в направлении, нормальном к поверхности цилиндра, и применить второй закон Ньютона. Рассмотрение сил приводит к выводу, что в указанном направлении действует только одна сила - нормальная сила реакции опоры. Других просто нет. С другой стороны, проекция ускорения мотоциклиста в этом направлении и есть центростремительное ускорение. Из второго закона Ньютона автоматически следует связь между линейной скоростью мотоциклиста, радиусом цилиндра (цс ускорение) и силой реакции опоры.

Движение мотоциклиста получается благодаря всем силам, которые на него действуют - в том числе - силе трения между покрышками колес и поверхностью цилиндра, причем направлена эта сила горизонтально касательно к поверхности цилиндра. Возникает эта сила из-за деформации колес и ненулевого вращающего момента, который приложен к колесам со стороны передачи от двигателя. Эту силу называют силой трения качения.

Удерживает же от падения мотоциклиста сила трения покоя, направленная вертикально.

Вы нарисуйте все силы в трех направлениях - будет понятнее. Нарисуйте также тело на горизонтальной поверхности со всеми силами (их будет в вертикальном направлении четыре) и сравните со случаем движения мотоциклиста.

[viktorkrug]

Я понял условия задачи, что он должен проехать по внутренней окружности, видимо здесь имелось ввиду по боковой стенки окружности. Можно еще вопрос может ли зависить от скорости центростремительное ускорение (в случае к примеру если спутник над землей на него действует только сила тяжести), тогда ускорение измеряется только силой?

[PapaKarlo]

viktorkrug в сообщении #236824 писал(а):

Я понял условия задачи, что он должен проехать по внутренней окружности, видимо здесь имелось ввиду по боковой стенки окружности.

По внутренней поверхности цилиндра, ось (или образующая) которого вертикальна. Траектория движения - окружность (линия пересечения горизонтальной плоскости с боковой поверхностью цилиндра).

viktorkrug в сообщении #236824 писал(а):

может ли зависить от скорости центростремительное ускорение (в случае к примеру если спутник над землей на него действует только сила тяжести), тогда ускорение измеряется только силой?

Связь между линейной скоростью и центростремительным ускорением - это кинематика; эта связь не зависит от причин ускорения: $|a|=|v|^2/R$. Связь ускорения и силы - динамика, второй закон Ньютона: $\vec a=\vec F/m$ (причина ускорения - взаимодействие, характеризующееся силой $\vec F$). Для спутника (если не работают двигатели, не учитываются сила сопротивления окружающей среды, тяготение других тел и т.д.) центростремительное ускорение есть ускорение свободного падения, т.е. определяется только силой тяжести (гравитационного взаимодействия спутника и Земли).

[viktorkrug]

Спасибо за ответы. Все в основном понятно, немного почитаю про силы с центростремительным ускорением.

[PapaKarlo]

viktorkrug в сообщении #236843 писал(а):

почитаю про силы с центростремительным ускорением.

Почитайте. Самое главное - разберитесь с кинематикой криволинейного движения.

[viktorkrug]

Здравствуйте можно докончить задачу (добавились новые условия), применяя к силам момент сил, можно найти угол между плоскостью колес и вертикалью, он находится проекцией относительно оси центра масс, приравнивая в системе отсчета К проходящей через центр масс, моменты силы трения и реакции 0. Подскажите пожалуйста почему, моменты 2х сил равняются нулю, можно приравнять любые силы, или силы трения и реакции находятся в равновесии, при движении мотоцикла.
Спасибо.

[PapaKarlo]

viktorkrug, ну постарайтесь яснее выражаться.

Сложное движение тела можно представить как совокупность поступательного движения центра масс этого тела и вращения тела относительно центра масс. Поэтому при выборе СО, начало отсчета которой совпадает с ЦМ, скорость движения последнего оказывается тождественно равна нулю.

Суммарный момент, действующий на тело, равен векторной сумме моментов отдельных сил. Относительно оси, проходящей через центр масс, момент любой силы, паралелльной этой оси, равен нулю по определению момента. Поэтому рассмотрение вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, облегчает решение задачи - например, момент силы тяжести равен нулю.

Равенство нулю суммарного момента означает неизменность угловой скорости вращения. Если она в какой-то момент времени равна нулю, то и далее останется равной нулю - это и есть условие равновесия.

[viktorkrug]

Спасибо. Нашел в инт-те:
Аксиома: сила, параллельная оси, и сила пересекающая ось, не создают вращения относительно этой оси, то есть моменты таких сил относительно оси равны нулю.
Решение теперь получилось.

[ewert]

viktorkrug в сообщении #240070 писал(а):

Аксиома: сила, параллельная оси, и сила пересекающая ось, не создают вращения относительно этой оси, то есть моменты таких сил относительно оси равны нулю.

Нифига себе аксиома. Что ж тогда такое определение момента?...

[viktorkrug]

Здравствуйте. Я перечитал задачу и попробовал математически вычисления момента сделать, и у меня опять возник вопрос, не могли бы подсказать.
Там уравнение Fтр sina - N cosa = 0 (1). Если сила трения направлена вверх Fтр, а реакции опоры горизонтально влево N, а ось z относительно которой вычисляется момент - через центр масс, и пересекает силы (к-е под углом 90), а угол между вертикалью и осью z = a то уравнение (1) - это проекции сил на плоскость перпендикулярную оси z, они равны. Из момента сил у меня получилось. Момент силы rF (расстояние умножить на силу). В проекции силы на плоскость перпендикулярную оси z на расстояние = 0:
0 * Fтр sina - 0* N cosa = 0
А равенство самих проеуций сил между собой не получается.
Спасибо.