Релятивистский шар в бассейне.

[Алия87]

В бассейне с водой находится шар. Его размеры и плотность таковы, что Архимедова сила со стороны воды уравновешивает силу тяжести со стороны Земли к шару и вес шара в воде равен нулю, поэтому он покоится относительно воды.


Теперь этот же шар движется вправо со скоростью v. В системе отсчёта бассейна с водой у шара, в следствие релятивистского сокращения длины в направлении движения, уменьшился объём, но масса у него не уменьшилась, плотность шара возросла. Раз объём шара уменьшился, то, наверное, и Архимедова сила уменьшилась и значит шар должен начать погружаться (тонуть)


Но в системе отсчёта шара всё наоборот: бассейн с водой движется и значит, в следствие релятивистского сокращения длины, объём бассейна с водой уменьшился, а масса воды не уменьшилась, плотность воды возросла , объём шара не изменился, а значит, наверное, и Архимедова сила увеличилась и поэтому шар должен начать всплывать.



Как может шар одновременно тонуть (в СО бассейна) и всплывать (в СО шара)?

[Vladimir Dubrovskii]

Алия87 в сообщении #236758 писал(а):

Как может шар одновременно тонуть (в СО бассейна) и всплывать (в СО шара)?

Эта задача к физике не имеет отношения. Во первых шар не может двигаться с релятивистской скоростью в воде (жидкости). Во-вторых, какое гравитационное поле должно быть, чтобы первая космическая скорость была больше скорости шара, сравнимой со скоростью света? Может ли существовать при таких гравитационных полях какая-нибудь жидкость (о воде уже речи нет)?

[PapaKarlo]

Vladimir Dubrovskii в сообщении #236766 писал(а):

Эта задача к физике не имеет отношения. Во первых шар не может двигаться с релятивистской скоростью в воде (жидкости). Во-вторых, какое гравитационное поле должно быть, чтобы первая космическая скорость была больше скорости шара, сравнимой со скоростью света?

Ну почему же не имеет? Разве сокращение длины имеет место только при скоростях, сравнимых со скоростью света?

[Munin]

Алия87 в сообщении #236758 писал(а):

Релятивистский шар в бассейне.

А бассейн тоже релятивистский? :-)

Сила Архимеда обязана своим существованием градиенту давлений. Давление - это компонента ТЭИ (тензора энергии-импульса-напряжений). Так что берём ТЭИ жидкости:
$T^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}\rho&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{array}\right),$
и преобразуем его по Лоренцу в направлении $x\colon$
$T'^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}\gamma^2(\rho+v^2p)&-\gamma^2v(\rho+p)&0&0\\-\gamma^2v(\rho+p)&\gamma^2(p+v^2\rho)&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{array}\right)$
(формулы в ЛЛ-2 § 6 задача 1). Таким образом, с точки зрения шара, давление окружающей его жидкости (нас интересует по оси $z$) не меняется, и всплывать ему незачем. Но, насколько я понимаю, то же самое действует и с точки зрения жидкости: ТЭИ шара также преобразуется, не затрагивая осей $y$ и $z,$ то есть и давление шара на жидкость не меняется. Шар и тонуть не должен.

Результат, в общем-то, логичный. Если мы представим себе, что шар - это тонкая оболочка, наполненная той же самой водой, то получается движение воды в воде, которое не может давать всплывания или тонутия из соображений симметрии.

Однако почесать в затылке пришлось... не сразу сообразил, что применять и как рассматривать.

[Алия87]

Munin писал(а):

Результат, в общем-то, логичный. Если мы представим себе, что шар - это тонкая оболочка, наполненная той же самой водой, то получается движение воды в воде, которое не может давать всплывания или тонутия из соображений симметрии.

Нет.

Алия писал(а):

В бассейне с водой находится шар. Его размеры и плотность таковы,

Наверное лучше уточнить. Шар сделан из очень прочного материала и внутри он пустотелый. Поэтому это не выделенный участок (объём) воды сферической формы в водной среде, а самостоятельное обособленное тело из некоторого материала большой прочности.

И ещё, может Вы мне немного подскажите.
В СО бассейна движется шар, а Земля (обладает большой массой покоя) неподвижна. В СО шара движется не только водные массы (сверху и снизу шара) но огромное тело (Земля снизу) у которого масса покоя. Она (Земля) разве не будет в этом случае сильнее притягивать шар. Я к тому, что шар должен утонуть с любой точки зрения.

[Munin]

Алия87 в сообщении #236804 писал(а):

Наверное лучше уточнить. Шар сделан из очень прочного материала и внутри он пустотелый.

Да без разницы. Мысленно его можно заменить на такой же объём воды. Ведь он уравновешен с водой.

Алия87 в сообщении #236804 писал(а):

Она (Земля) разве не будет в этом случае сильнее притягивать шар.

Но и воду, заметьте. Я про гравитацию думал, хотел даже было написать, что ответ зависит от модели гравитации (скалярная, векторная или тензорная), но потом нашёл, что ТЭИ даёт внятный ответ.

[PapaKarlo]

Munin в сообщении #236779 писал(а):

Таким образом, с точки зрения шара, давление окружающей его жидкости (нас интересует по оси $z$) не меняется, и всплывать ему незачем. Но, насколько я понимаю, то же самое действует и с точки зрения жидкости: ТЭИ шара также преобразуется, не затрагивая осей $y$ и $z,$ то есть и давление шара на жидкость не меняется. Шар и тонуть не должен.

Случайно наткнулся на пару статей в Вики. Эта задача известна как Supplee's paradox или как парадокс субмарины). Утверждается, что рассматрение задачи как в рамках СТО (Supplee), так и ОТО (Matsas) приводит к выводу, что тело тонет с ускорением $g(\gamma^2-1)$.

Munin, я знаю, что Вы скептически относитесь к Вики, особенно к русскоязычным статьям, но и в англоязычной указаны ссылки (к сожалению, не free ) на работы и Supplee и Matsas. Аннотация, например, здесь.

-- Ср авг 26, 2009 01:39:15 --

Нашел ссылку на работу Матсаса.

[Munin]

PapaKarlo в сообщении #238012 писал(а):

Munin, я знаю, что Вы скептически относитесь к Вики, особенно к русскоязычным статьям

Скептически я отношусь именно к русскоязычным статьям. А англоязычные бывают вполне ничего, особенно по специальным темам.

Забавно, пошёл читать. Интересно, в чём я ошибся?

-- 26.08.2009 10:47:53 --

Похоже, я решил только часть задачи: как изменится собственно сила Архимеда. Кстати, ответ зависит от системы отсчёта: хотя давление и остаётся одинаковым, но площадь нижней поверхности субмарины (замена шара на субмарину позволяет проще рассматривать форму тела) в разных системах отсчёта разная. То есть в системе отсчёта субмарины сила Архимеда не меняется (в отличие от наивного представления о "более плотной жидкости"), а в системе отсчёта жидкости субмарина сокращается, и сила на неё действует меньшая.

Но вторая часть задачи состоит в том, как изменяется сила тяжести, действующая на субмарину, которая в статике уравновешивала силу Архимеда. И вот тут (я правильно думал вначале, но потом отбросил эту мысль) играет роль принятая модель гравитации. Напомню, что гравитацию, как любое силовое поле, можно рассматривать (релятивизировать) как скалярное поле, векторное, и тензорное (в квантовой теории, соответственно, спин 0, 1 и 2). В ОТО делается однозначный выбор в пользу тензорного поля, но пока мы не рассматриваем экспериментов, доказывающих именно этот момент, мы можем рассматривать все три теории (насчёт высших спинов не знаю). Видимо, речь идёт именно об этом выборе, когда в http://grani.ru/Society/Science/m.39351.html пишут:

Цитата:

Саппли также заключил, что субмарина должна тонуть, однако гравитационный фактор в его вычисления вводился способом довольно искусственным.

В http://focus.aps.org/story/v12/st4 сказано так:

Цитата:

Special relativity does not normally apply to problems that include gravity, so Supplee assumed that the ocean--but not the sub--accelerates upward at a rate that simulates gravitational effects. Inside an accelerating elevator far from Earth, for example, objects drop to the floor exactly as though gravity were pulling them.

Подобный подход к гравитации заимствован из ОТО (принцип эквивалентности, приравнивающий гравитацию к ускорению), но заодно он, собственно, и фиксирует ранг гравитационного взаимодействия: 2. Например, отклонение света в гравитационном поле становится равным отклонению ОТО, в 2 раза больше отклонения "по Ньютону" (в векторной теории оно совпадает с "ньютоновским", а в скалярной равно нулю). Если не пользоваться принципом эквивалентности, модель гравитации остаётся неуточнённой, так что "чисто в рамках СТО" задача не получает однозначного решения.

Поскольку я не рассматривал изменения силы тяжести для движущейся субмарины, мой ответ справедлив для скалярной модели гравитации. Для векторной сила тяжести увеличивается в $\gamma$ раз, а для тензорной - в $\gamma^2.$ Разумеется, за вычетом собственно силы Архимеда, получается равнодействующая $\gamma^{0,1,2}-1.$

Точнее, никаких "разумеется". В какой системе отсчёта мы рассматриваем эту увеличившуюся силу? Сила Архимеда-то у нас тоже разная! Так что может быть, ответ будет $\gamma^{0,1,2}-1/\gamma$ в неподвижной системе отсчёта... Теперь помогайте!

-- 26.08.2009 10:58:58 --

P. S. А вот Matsas, кажется, халявит. Он указывает, что рассмотрение сферической планеты приводит ко всяким левым эффектам типа центробежной силы и первой космической скорости (совершенно справедливо), и в результате переходит к пространству-времени Риндлера (спорный момент). А вот риндлеровское пространство-время буквально возвращает в специальную теорию относительности и в ускоренный лифт, поскольку тождественно пространству Минковского, наблюдаемому из ускоренной системы отсчёта. То есть Matsas не рассматривает задачу глубже, чем Supplee, а просто переписывает его решение в других терминах. Было бы интересно, например, учесть гравитацию, дополнительно добавляемую каждым новым слоем жидкости, но в риндлере этого не будет.

[Утундрий]

Интересная задачка. Причем, самое интересное в этой задачке - на кой ляд кому-то вообще понадобось ее рассматривать Какой бы результат в итоге не получился, он будет абсолютно бесполезен с практической точки зрения.

[Munin]

Упражнение на применение теории. Вы же не против задачек из задачника, тоже с условиями, мало полезными в реальной жизни? "Лягушка в банке" какая-нибудь.

[Утундрий]

Движения в жидкости будем учитывать? По-хорошему - надо бы.

[Munin]

По-хорошему, результат от них не зависит. Точнее, он может изменить саму величину ускорения (за счёт разных эффектов, родственных подъёмной силе), но не её знак.

[Утундрий]

Совсем по-хорошему, движение тел в жидкости относится к гидродинамике и именно этот раздел МСС позволяет учесть все существенные факторы, ощутимо влияющие на результат. Учет эффектов СТО в этой задаче подобен учету давления света звезд в ясный полдень и столь же интересен.

[Munin]

Совсем по-хорошему, существует релятивистская гидродинамика.