Существует ли формула для определения кол-ва простых чисел?

[Nxx]

Чего вы мучаетесь? Есть простая формула:

$$\pi(N)=\sum_{j=2}^{N-1} \prod_{k=2}^j \lim_{w\to\infty}(1-\cos^{2w}\left(\frac{j\pi}{k}\right))$$

[arseniiv]

Действительно проще некуда

[nikov]

Rasulka в сообщении #235461 писал(а):

Много раз уже встречал формулы, по которым можно лишь приближенно оценить количество простых чисел от 1 до N. У меня возник вопрос, существует ли формула для нахождения точного количества простых чисел от 1 до N, пусть даже эта формула будет бесконечной?

Есть полиномиальная формула (правда, дающая не количество простых чисел, а сами простые числа), полученная в 1976 году Джонсом, Сато, Вада и Вьенсом. Здесь их публикация в Amer. Math. Mon. с достаточно полным выводом. Сама формула есть в википедии.

Цитата:

Множество положительных значений многочлена

$$(k+2) (1 - [wz + h + j - q]^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - [2n + p + q + z - e]^2 - $$$$ [16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2]^2 - [e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2]^2 - [(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - $$$$ [16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2]^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - [n + l + v - y]^2 - $$$$ [(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - [ai + k + 1 - l - i]^2 - [p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m]^2 - $$$$ [q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x]^2 - [z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm]^2) $$

в точности совпадает с множеством простых чисел, если встречающиеся в нем переменные являются неотрицательными целыми числами.