Многочлен в иррациональных точках

[Edward_Tur]

Найти все многочлены с рациональными коэффициентами, которые в иррациональных точках принимают иррациональные значения
(Задача моего преподавателя В.С. Собчука)

[gris]

Можно ли показать, что для любого набора натуральных чисел, больших двух $(n_1, n_2 \dots n_k)$ существует такое иррациональное число $s$ , что все $s^{n_k}$ являются рациональными?
Тогда только многочлены первой степени.

Или же найти такое условие для $(n_1 \cdots n_k)$, что такого числа не может существовать. Может быть НОД=1?

[ИСН]

Такого числа для многих наборов не существует. (Скажем, степени 2 и 3. Число в квадрате рационально, в кубе тоже, а само по себе как же?) Да я и не понял, что Вы с ним собирались делать, будь оно всегда.
Но мои мысли крутятся в ту же сторону. Только линейные, а то...

[Edward_Tur]

Решение:
Пускай $P(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {a_0}$ - заданный многочлен, а $q$ - общий знаменатель всех коэффициентов. Тогда многочлен $Q(x) = q{(q{a_n})^{n-1}}P\left( {\frac{x}{{q{a_n}}}} \right)= {x^n} + {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {b_0}$ - это многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом единицей, который имеет такое же свойство, что и многочлен $P(x)$.
Из условия вытекает, что для любого целого $N$ уравнение $Q(x) = N$ имеет только рациональные корни. Рациональные корни такого уравнения должны быть целыми и суть делители свободного члена.
Предположим, что $n > 1$.
Поскольку простых чисел бесконечно много, выберем $N$ таким, чтобы:
а) свободный член уравнения $Q(x) = N$ равнялся “$ - p$”, где $p$ - простое число;
б) уравнение $Q(x) = N$ не имело корнем ни одно из чисел $ \pm 1$;
в) уравнение $Q(x) = N$ не имело корнем ни одно из чисел $ \pm p$ – для этого выберем p$p$ большим, чем $\left| {{b_{n - 1}}} \right| + \ldots + \left| {{b_1}} \right| + 1$, тогда
$ \left| { \pm {p^n} \pm {b_{n - 1}}{p^{n - 1}} \pm \ldots \pm {b_1}p} \right| \ge {p^n} - \left| {{b_{n - 1}}} \right|{p^{n - 1}} - \ldots - \left| {{b_1}} \right|p \ > p \\ $
Уравнение $Q(x) = N$ не имеет рациональных корней, но имеет действительный корень на промежутке $[0; p]$, так как $Q(0) - N = - p < 0$ а $Q(p) - N > 0$. Это иррациональный корень. Противоречие.
Получаем $n \le 1$.

[TOTAL]

Edward_Tur в сообщении #237204 писал(а):

Решение:
Пускай $P(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {a_0}$ - заданный многочлен, а $q$ - общий знаменатель всех коэффициентов. Тогда многочлен $Q(x) = q{(q{a_n})^{n-1}}P\left( {\frac{x}{{q{a_n}}}} \right)= {x^n} + {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {b_0}$ - это многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом единицей, который имеет такое же свойство, что и многочлен $P(x) $.
.................

Многочлен $W(x) = {x^n} + {b_{n - 1}}{x^{n - 1}} + \ldots + {b_1}x$ - это многочлен с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом единицей, который имеет такое же свойство, что и многочлен $P(x).$ Очевидно, для всех достаточно больших простых чисел $p_i$ выполняется $W(p_i)=p_i,$ откуда $W(x)=x.$