Простейшие соображения по решению данного уравнения:
Во-первых, если перенести единицу в левую часть, то получится:

откуда

. Откуда:

.
Откуда т.к.

, то

. Откуда

Во-вторых, т.к.

представляет собой полином

-степени, где

- простое, он состоит из множителей

и

. Где

является общим множителем.
Тогда

состоит из трех частей:

.
Тогда

. Или

.
Только при этих условиях исходное уравнение может иметь решения.
Дальнейшее решение сводится к тому, при каких условиях полином, образованный возможными числами вида

и

может быть

-ой степенью. Ну это противоречит Гипотезе Биля. Но т.к. она не доказана, предлагаю попробовать свои силы самостоятельно.
_________________________________________
Сразу оговорюсь, что атака в лоб с помощью обычных методов ничего не дала. Т.к. о взаимосвязи полиномов

и их оснований

мы мало чего знаем. Знаем лишь, что распределение множителей полинома - простых чисел вида

в зависимости от

и

происходит случайно. Почти случайно. Вернее с хорошей добротной случайностью!
Но с помощью моих новых методов, кажется мне удалось продвинуться вперед и найти путь решения данного уравнения, вернее, доказательства его неразрешимости.