Решить интересное уравнение

[Мат]

Старенькое интересное уравненьице:
$y^n=nx^{n-1}+1$
при $n>2$.
По теореме Ферма оно решений не имеет, к сожалению, других соображений пока нет.

[age]

Раз уж заголовок есть.
Приглашаю всех желающих попробовать силы. Кажется с помощью последних, разработанных мной методов, мне наконец удалось найти путь его решения. Но об этом потом.

[age]

Простейшие соображения по решению данного уравнения:
Во-первых, если перенести единицу в левую часть, то получится:
$nx^{n-1}=y^n-1$ откуда $y-1\div n, x\div n, y-1\div n^{n-1}$. Откуда:
$y=kn^{n-1}+1$.
Откуда т.к. $y-1=x'^{n-1}$, то $kn^{n-1}=x_0^{n-1}n^{n-1}$. Откуда $k=x_0^{n-1}$
Во-вторых, т.к. $y^n-1$ представляет собой полином $n$-степени, где $n$ - простое, он состоит из множителей $n, 2kn+1$ и $y-1$. Где $n$ является общим множителем.
Тогда $x$ состоит из трех частей:
$x=nx_0x_1$.
Тогда
$nx^{n-1}=n^nx_0^{n-1}x_1^{n-1}=(x_0^{n-1}n^{n-1}+1)^n-1$. Или
$n^nx_0^{n-1}(2kn+1)^{n-1}=(x_0^{n-1}n^{n-1}+1)^n-1$.
Только при этих условиях исходное уравнение может иметь решения.

Дальнейшее решение сводится к тому, при каких условиях полином, образованный возможными числами вида $y=(x_0^{n-1}n^{n-1}+1)$ и $1$ может быть $n-1$-ой степенью. Ну это противоречит Гипотезе Биля. Но т.к. она не доказана, предлагаю попробовать свои силы самостоятельно.
_________________________________________

Сразу оговорюсь, что атака в лоб с помощью обычных методов ничего не дала. Т.к. о взаимосвязи полиномов $x^n\pm y^n$ и их оснований $x\pm y$ мы мало чего знаем. Знаем лишь, что распределение множителей полинома - простых чисел вида $2kn+1$ в зависимости от $x$ и $y$ происходит случайно. Почти случайно. Вернее с хорошей добротной случайностью!
Но с помощью моих новых методов, кажется мне удалось продвинуться вперед и найти путь решения данного уравнения, вернее, доказательства его неразрешимости.

[venco]

age в сообщении #236543 писал(а):

Простейшие соображения по решению данного уравнения:
Во-первых, если перенести единицу в левую часть, то получится:
$nx^{n-1}=y^n-1$ откуда $y-1\div n, x\div n, y-1\div n^{n-1}$.

Почему $(y-1)\div n$? А не, например, $(y^{n-1}+y^{n-2}+...+1)\div n$?

[age]

venco
Это довольно тривиально.
Общеизвестный факт, если полином $n$-ой степени, где $n$- простое, делится на $n$, то он делится и на $n^2$.
Откуда немедленно следует $x\div n$. Т.е. $nx^{n-1}\div n^n$. Но т.к. полиномиальная часть полинома $\dfrac{y^n-1}{y-1}$ не может делиться на $n$ ни в какой степени, кроме первой, то $y-1\div n^{n-1}$. Откуда $y=kn^{n-1}+1$.

[venco]

age в сообщении #236554 писал(а):

если полином $n$-ой степени, где $n$- простое,

А почему $n$ - простое?

Цитата:

... делится на $n$, то он делится и на $n^2$.

Не знаю такого факта.
$x^3+x^2+x+3$ может делиться на $3$, но никогда не делится на $9$.
$x^3-x+3$ всегда делится на $3$, но не всегда - на $9$.

[age]

venco в сообщении #236559 писал(а):

age в сообщении #236554 писал(а):

если полином $n$-ой степени, где $n$- простое,

А почему $n$ - простое?

Давайте вначале попробуем для простых, чтобы не усложнять?

Цитата:

Не знаю такого факта.
$x^3+x^2+x+3$ может делиться на $3$, но никогда не делится на $9$.
$x^3-x+3$ всегда делится на $3$, но не всегда - на $9$.

К сожалению, книжку привести не могу, но если $(a^n\pm b^n)\div n$, и $n$ - простое, то $(a^n\pm b^n)\div n^2$.

[venco]

age в сообщении #236561 писал(а):

Давайте вначале попробуем для простых, чтобы не усложнять?

Допустим.

age писал(а):

К сожалению, книжку привести не могу, но если $(a^n\pm b^n)\div n$, и $n$ - простое, то $(a^n\pm b^n)\div n^2$.

Так будет верно.

age в сообщении #236554 писал(а):

Но т.к. полиномиальная часть полинома $\dfrac{y^n-1}{y-1}$ не может делиться на $n$ ни в какой степени, кроме первой,

Что такое "полиномиальная часть полинома"?

[age]

Если $y^n-x^n$ - полином, то выражение $\dfrac{y^n-x^n}{y-x}$ я назвал "полиномиальной" частью полинома, а $y-x$ - его основанием. Так удобно, т.к. именно "полиномиальная" часть всецело определяется показателем степени $n$ и не зависит вообще от $y-x$. А $y-x$ - может быть любое, и в свою очередь, никак не зависит от $n$ .

[Виктор Ширшов]

Мат в сообщении #205097 писал(а):

Старенькое интересное уравненьице:
$y^n=nx^{n-1}+1$
при $n>2$.
По теореме Ферма оно решений не имеет, к сожалению, других соображений пока нет.

Предполагаю, что указанное уравнение Ферма свёл к виду $y^n=a^n+1^n$,приняв $nx^{n-1}=a^n$ и $1=1^n$. Полученное уравнение, как можно видеть, является разновидностью Диофантова уравнения, которое, по утверждению Ферма, не решается в целых числах и не решается оно уже при $n>1$, так как числа $y,x,1$ не могут составлять "пифагоровых троек" по причине заданности одного из них. Вывод: если какое-то уравнение не имеет решения, то и у тождественного ему другого уравнения ( в нашем случае это уравнение $y^n=nx^{n-1}+1$) также решения нет.

[migmit]

Ваше предположение никак не обосновано.

[age]

Виктор Ширшов
С помощью теоремы Ферма (точнее, гипотезы Биля) решить просто. Но она не доказана. Поэтому данный способ не принимается.
К тому же, данное уравнение придумал не Ферма, а совсем другой математик. Хотя не скрою, что пришел он к нему тоже как ни странно в процессе неудачного доказательства теоремы Ферма.