мера графика функции

[terminator-II]

Пусть $D\subseteq\mathbb{R}^m$ -- измеримое множество и $f\in L^p(D),\quad 0<p<1.$
Доказать, что график функции $f$ имеет меру нуль в $\mathbb{R}^{m+1}$.

[AGu]

А разве тут не достаточно просто измеримости $f$?
Вроде бы, используем измеримость графика $f$, применяем теорему Фубини — и в дамках.
Я где-то накололся?

[terminator-II]

не понял

[ewert]

А у меня встречное предложение -- доказать: если утверждение верно хоть для одного $p\in(0;+\infty),$ то оно верно и для любого другого.

Это я к тому, что требование $p\in(0;1)$ выглядит как-то странно. Да и при чём тут вообще $L_p$? Действительно, измеримости функции вроде как и достаточно. (Я, правда, тоже не понял, при чём тут фубини, хотя и у меня первым побуждением было тоже сослаться на них, но и без всяких фубиней это выглядит очевидным).

В этом есть какая-то загадка. Не разгадаете ли нам её? Есть подозрение, что это просто выплыло как побочный результат какого-то другого утверждения.

-- Пн авг 17, 2009 21:29:46 --

terminator-II в сообщении #235921 писал(а):

неравенство Гельдера

да ну какой там Гёльдер -- просто непрерывность и монотонность перехода, а может, даже и монотонности не надо, лень думать

terminator-II в сообщении #235921 писал(а):

но доказывать, то , что Вы предлагаете это отдельная история, подумать надо.

Ну не знаю, я думал совсем-совсем тупо. Разбиваем множество значений на участки шириной эпсилон. Берём цилиндры, в основании каждого из которых лежит прообраз соотв. участка, а высота равна эпсилону. Объединение этих цилиндров покрывает весь график. Ну а потом складываем их меры...

[terminator-II]

Я рассуждал так. Не сужая общности будем считать, что $f\ge 0$ п.в.
Рассмотрим функцию $g(x,y)=(f(x)-y)^{p-1},\quad 0<p<1$. эта функция измерима на множестве
$Q=\{(x,y)\mid x\in D\quad 0\le y\le f(x)\}$.
Причем график функции $f$ это множество $G=\{(x,y)\mid g(x,y)=\infty\}$. Если мы покажем, что $g\in L^1(Q)$ то это будет означать, что $\mu(G)=0$.
И так
$\int_Qg(x,y)dxdy=\int_Ddx\int_0^{f(x)}g(x,y)dy$ остальное понятно

-- Mon Aug 17, 2009 21:43:54 --

ewert в сообщении #235915 писал(а):

Ну не знаю, я думал совсем-совсем тупо. Разбиваем множество значений на участки шириной эпсилон. Берём цилиндры, в основании каждого из которых лежит прообраз соотв. участка, а высота равна эпсилону. Объединение этих цилиндров покрывает весь график. Ну а потом складываем их меры...

мне не понятно, почему это должно приводить к результату

[ewert]

terminator-II в сообщении #235923 писал(а):

мне не понятно, почему это должно приводить к результату

Потому, что суммарная мера тех цилиндров есть эпсилон, умноженный на меру области определения. Т.е. может быть сделана сколь угодно малой.

[terminator-II]

ewert в сообщении #235928 писал(а):

terminator-II в сообщении #235923 писал(а):

мне не понятно, почему это должно приводить к результату

Потому, что суммарная мера тех цилиндров есть эпсилон, умноженный на меру области определения. Т.е. может быть сделана сколь угодно малой.

я, видимо не понял конструкцию, если можно по-формальней

[ewert]

да куда уж формальнее.

Ну пусть мы разбили всю "вертикальную" ось точками $z_i$ так, что $z_{i+1}-z_i\equiv\varepsilon.$ И пусть $D_i=f^{-1}[z_i;z_{i+1}).$ И пусть $\Omega_i=D_i\times[z_i;z_{i+1}).$ Тогда график функции содержится в $\bigcup_i\Omega_i,$ и при этом $\mu\left(\bigcup_i\Omega_i\right)=\mu(D)\cdot\varepsilon,$ вот и всё.

[terminator-II]

да, действительно все тривиально

[AGu]

Упоминая теорему Фубини (aka Тонелли), я намекал на то, что
мера $\mu_{D\times\mathbb R}(G_f)$ графика $G_f\subset D\times\mathbb R$ измеримой функции $f:D\to\mathbb R$ равна

$\mu_{D\times\mathbb R}(G_f)=\mu_{D\times\mathbb R}\Bigl(\bigcup_{x\in D}\bigl\{\bigl(x,f(x)\bigr)\bigr\}\Bigr)=\int_D\mu_{\mathbb R}\bigl(\{f(x)\}\bigr)\,dx=0$,

так как $\mu_{\mathbb R}\bigl(\{f(x)\}\bigr)=0$ для всех $x\in D$.
Впрочем, действительно, если задаться целью проверить измеримость $G_f$,
то можно мимоходом сразу доказать пренебрежимость $G_f$
и тем самым обойтись без Фубиней с Тонеллями.