Задачка по теории вероятностей. Независимость событий.

[IE]

Задача:
Доказать, что неотрицательные числа $p_1,\dots ,p_n$ тогда и только тогда могут быть вероятностями $n$ попарно независимых событий таких, что пересечение любых трех из них не пусто, когда выполнены неравенства

$$\sum\limits_{k=1}^{n}p_k - p_i \leqslant 1, \quad{} i=\overline{1,n}.$$

Но как быть со следующим примером: пусть трижды подбрасывается монета с вероятностью выпадения герба $p_1=\frac{3}{4}$. Тогда, как обычно $\Omega=\{\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3), \omega_i=0|1, i=1..3)\}$ и $P(w)=(\frac{3}{4})^{(\omega_1 + \omega_2+\omega_3)}(\frac{1}{4})^{(3-(\omega_1 + \omega_2+\omega_3))}$. Рассмотрим события $A_i=\{\omega : \omega_i=1\}, i=1..3$, тогда $P(A_i)=p_1, \forall i$ и события попарно независимы и их пересечение непусто, но $P(A_1)+P(A_2)=2p_1=\frac{3}{2}>1. $ Может пример некорректен и я просто не вижу чего-то очевидного? На всякий случай оригинальное задание:

[--mS--]

В этом задачнике довольно много опечаток или неправильных задач (что не умаляет его ценности). В частности, в ответе к этой задаче стоит ссылка на задачу 2.39, которая никакого отношения к данной не имеет. Контрпример и проще можно взять: все события - достоверные, тогда они все независимы в совокупности и пересечение любого числа непусто, а $\sum_{i=1}^n p_i - p_k =n-1$ для любого $k$.

Интересно, как должно выглядеть правильное утверждение.

[IE]

--mS--
Спасибо, я потихоньку прорешиваю задачник, собираю опечатки и некорректные условия, есть надежда, что будет еще одно издание. А вообще, мне кажется, не так много хороших задачников по ТВ, правда недавно появился задачник Ширяева)), но это несколько другой уровень.

[--mS--]

Чисто навскидку: ответы к 1.72, 1.129, 3.182, утверждение 4.80 (на форуме был к/пример). А вообще задачник очень хорош.