Четыре соотношения для доказательства ВТФ.

[Леонид Вайсруб]

\textbf{\underline{\emph{Соотношение 1.}}}
Для всех четных значений показателя степени $n = 2k, k = 1, 2, 3, \ldots $ сумма $x^{n} + y^{n},$ где $x$ и $y$ - натуральные нечетные, не равна $z^{n},$ где $z$ натуральное четное. Положим $x = u + 1, y = v + 1,$ где $u , v$ - четные числа. Запишем сумму $x^{n} + y^{n},$ в виде $ ( u + 1 )^{2k} + ( v + 1 )^ {2k}. $

$$(u^{2k} + v^{2k}) + 2k(u^{2k - 1} + v^{2k - 1}) + \ldots + (1/3) k (2k - 1) (2k - 2) (u^3 + v^3) + k (2k - 1)( u^2 + v^2 ) + 2k( u + v ) + 2 \ne z^{2k + 2}$$

Нетрудно видеть, что для любых четных чисел $u$ и $v$, в левой части этого неравенства всегда четное число, у которого все слагаемые, кроме последнего равного 2, делятся на 4, а в правой части четное число, которое также делится на 4. После деления обеих частей на 2 получим, что слева от знака неравенства нечетное число, а справа число четное. Следовательно, неравенство справедливо, а равенство возможно тогда, когда четное число $z^{2k} $ делится только один раз на 2. В этом случае число $z$ является иррациональным числом.
\textbf{\underline{\emph{Соотношение 2.}}}
Для четного $ n = 4 $ сумма $x^{4} + y^{4},$ где $x$ - натуральное четное, $y$ - натуральное нечетное, не равна $z^{4},$ где $z$ натуральное нечетное. Положим, что $x > y, x = u + y, $ где $u$ - натуральное нечетное число. Тогда сумма $x^{4} + y^{4}$ запишется в виде

$$ (u + y)^{4} + y^{4} = u^{4} + 4u^{3}y + 6u^{2}y^{2} + 4uy^{3} + 2y^{4} = y^{4}( u^{4}/y^{4} + 4u^{3}/y^{3} + 6u^{2}/y^{2} + 4u/y + 2) $$

Обозначим $ w = u/y. $ Тогда

$$ x^{4} + y^{4} = (u + y)^{4} + y^{4} = y^{4}(w^{4} + 4w^{3} + 6w^{2} + 4w + 2) = y^{4}F(w) $$

Для четных $ w $ целочисленный многочлен 4-ой степени F(w) есть число четное, а сумма $x^{4} + y^{4},$ есть число нечетное. Для нечетных $ w $ целочисленный многочлен 4-ой степени F(w) неприводим над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел согласно критерия Эйзенштейна (коэффициент при старшем члене не делится на простое число $2$, коэффициенты всех остальных членов делятся на $ 2 $, а свободный член равный $ 2 $ не делится на $ 2^2 = 4 $)[1]. Неприводимость многочлена над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел означает, что его невозможно разложить на множители - целочисленные многочлены степеней меньших чем $n = 4$. Следовательно, строго положительное число F(w), представленное в виде неприводимого многочлена, не может быть целой степенью натурального числа.
\textbf{\underline{\emph{Соотношение 3.}}}
Можно показать, что для всех нечетных значений показателя степени $n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, \ldots $ строго положительная разность $z^{n} - y^{n}, $ где $z$, $y$ - натуральные нечетные, не равна $x^{n}, $ где $x$ - натуральное четное. Обозначим разность $v = z - y > 0, v $ – четное число, так как $z$ и $y$ - нечетные. Запишем разность $z^{n} - y^{n} $ в виде
$ z^{n} - y^{n} = (v + y)^{2k + 1} - y^{2k + 1} = v^{2k + 1} + (2k + 1) v^{2k}y + (2k + 1)k v^{2k - 1}y^{2} + \ldots + (1/3)(2k + 1)k(2k - 1) v^3y^{2k - 2} + (2k + 1) k v^2 y^{2k - 1} + (2k + 1) v y^{2k} + y^{2k + 1} - y^{2k + 1} = v (v^{2k} + (2k + 1) v^{2k - 1}y + (2k + 1)k v^{2k - 2}y^{2} + \ldots + (1/3)(2k + 1)k(2k - 1) v^2y^{2k - 2} + (2k + 1) k v y^{2k - 1} + (2k + 1)y^{2k}) = v y^{2k}(v^{2k}/y^{2k} + (2k + 1) v^{2k - 1}/y^{2k - 1} + (2k + 1)k v^{2k - 2}/y^{2k - 2} + \ldots + (1/3)(2k + 1)k(2k - 1) v^2/y^2 + (2k + 1) k v/y + (2k + 1)) ~~~~ (i) $
Обозначим $ w = v/y. $ Тогда соотношение (i) перепишется так:

$$ z^{n} - y^{n} = (v + y)^{2k + 1} - y^{2k + 1} = (z - y) y^{2k}(w^{2k} + (2k + 1) w^{2k - 1} + (2k + 1)k w^{2k - 2} + \ldots + (1/3)(2k + 1)k(2k - 1) w^2 + (2k + 1) k w + (2k + 1)) ~~~~ (ii) $$

Рассмотрим целочисленный многочлен в круглых скобках в (ii) для простых значений показателя степени $ n $

$$ F(w) = w^{n - 1} + n w^{n - 2} + (1/2)n(n - 1) w^{n - 3} + \ldots + (1/6)n(n - 1)(n - 2) w^2 + (1/2)n(n - 1)w + n $$

Согласно критерия Эйзенштейна многочлен $F(w)$ неприводим над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел в силу того, что коэффициент при старшем члене не делится на простое число $n,$ коэффициенты всех остальных членов делятся на $ n $, а свободный член равный $ n $ не делится на $ n^2 $)[1]. Неприводимость многочлена $F(w)$ над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел означает, что его невозможно разложить на множители - целочисленные многочлены степеней меньших чем $n - 1$. Следовательно, строго положительное число $F(w)$, представленное в виде неприводимого многочлена, не может быть целой степенью натурального числа.
Получаем

$$ z^{n} - y^{n} = (v + y)^{2k + 1} - y^{2k + 1} = (z - y) y^{2k}F(w) $$

и в силу неприводимости $ F(w) $ разность $ z^{n} - y^{n} \ne x^{n} $.
\textbf{\underline{\emph{Соотношение 4.}}}
Для всех нечетных значений показателя степени $n = 2k + 1, k = 1, 2, 3, \ldots $ сумма $ x^{n} + y^{n} $, где $x, y$ - натуральные нечетные, не равна $z^{n}$, где $z$ - натуральное четное. Предполагая, без ограничения общности рассуждений, что $ x > y $, запишем $ x $ и $ y $ в виде: $ x = S + q, y = S - q $, где $ S = (x + y)/2. $ Тогда

$$x^{n} + y^{n} = (S + q)^{n} + (S - q)^{n}$$

Раскрывая биномы, получим
$x^{n} + y^{n} = (S + q)^{n} + (S - q)^{n} = 2Sq^{n - 1}(S^{n - 1}/q^{n - 1} + [n(n - 1)/2]S^{n - 3}/q^{n - 3} + [n(n - 1)(n - 2)(n - 3)/24]S^{n - 5}/q^{n - 5} + \ldots + [n(n - 1)(n-2)/6]S^2/q^2 + n)~~ (iii) $
Обозначим $ w = v/y. $ Тогда соотношение (iii) перепишется так:

$$x^{n} + y^{n} = (S + q)^{n} + (S - q)^{n} = 2Sq^{n - 1}(w^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 3} + [n(n - 1)(n-2)(n-3)/24]w^{n - 5} + \ldots + [n(n - 1)(n-2)/6]w^2 + n) $$

Рассмотрим целочисленный многочлен в круглых скобках в (iii) для простых значений показателя степени $ n $

$$ F(w) = w^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 3} + [n(n - 1)(n-2)(n-3)/24]w^{n - 5} + \ldots + [n(n - 1)(n - 2)/6]w^2 + n $$

Согласно критерия Эйзенштейна многочлен $F(w)$ неприводим над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел в силу того, что коэффициент при старшем члене не делится на простое число $ n $, коэффициенты всех остальных членов делятся на $ n $, а свободный член равный $ n $ не делится на $ n^2 $)[1]. Неприводимость многочлена $F(w)$ над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел означает, что его невозможно разложить на множители - целочисленные многочлены степеней меньших чем $n - 1$. Следовательно, строго положительное число $F(w)$, представленное в виде неприводимого многочлена, не может быть целой степенью натурального числа. Получаем

$$ x^{n} + y^{n} = (S + q)^{n} + (S - q)^{n} = 2Sq^{n - 1}F(w) $$

и в силу неприводимости $ F(w) $ сумма $ x^{n} + y^{n} \ne z^{n} $.
I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида

$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$

при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных решений $x, y, z$. Доказательство этой старой задачи строится от противного, т.е. предполагается, что равенство в (1) возможно. Приведённые выше четыре соотношения показывают, что в уравнении (1), в котором $x, y, z, n$ - целые, $xyz \ne 0 $, для всех четных и нечетных показателей степени $ n > 2$ равенство невозможно. Так для $n = 4$ соотношения 1 и 2 показывают, что уравнение (1) не имеет натуральных решений $x, y, z$, а для простых нечетных $ n > 2$соотношение 3 показывает, что уравнение (1) не имеет натуральных решений $x, y, z$, если $x$- четное число, $y$ и $z$ - нечетные числа (равносильная запись (1) $x^n = z^n - y^n$), а если $x$ и $y$ - нечетные числа, а $z$ - четное, то соотношение 4 показывает, что сумма $ x^{n} + y^{n} \ne z^{n} $.
Очевидно, что если неразрешимость уравнения (1) в целых числах доказана для некоторого показателя $n > 2$, то тем самым это доказано и для всех показателей, кратных $ n $, так как всякое целое $n$ делится или на 4, или на нечетное простое число, то можно ограничиться случаями, когда показатель $n$ равен либо 4, либо нечетному простому числу [2], [4], [5], [6].
\textbf{\underline{\emph{Расширение задачи.}}}
II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых $n$, то равенство в (1) возможно только для $n = \pm 1, \pm 2.$ Легко видеть, при $n = 0$ (получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n < 0.$
$X^r + Y^r = Z^r, X, Y, Z$ - не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y, X = Y = 2m, Z = m, | m | \ge 1, m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2,$ тогда (1) запишется так:

$$\frac{1}{X^n} + \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~~~~~ (2)$$

где $n = - r.$
Ясно, что в (2) $X > Z$ и $Y > Z.$

$$X^n + Y^n = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (3)$$

Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (3) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (3) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и , следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2,$ если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - рациональные, т.е. $x = p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y}, z = p_{z}/q_{z}, $ где $p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ – целые, не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа $x, y, z$ - комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y = \alpha_{y} + i\beta_{y}, z = \alpha_{z} + i\beta_{z}, $ где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x}, \beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ - вещественные.
Для задач III, IV, V определить условия равенства.





Список литературы
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, изд. 9-е, 1968.
2. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.
3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа, 1979.
4. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во ЛКИ,2008.
5. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978.
6. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. –М : Мир, 2003.

[migmit]

Леонид Вайсруб в сообщении #234438 писал(а):

\textbf{\underline{\emph{Соотношение 1.}}}

Несомненно верный факт. Он общеизвестен, его можно доказать проще, но на суть это не влияет: доказано корректно.

Леонид Вайсруб в сообщении #234438 писал(а):

Неприводимость многочлена над кольцом целых чисел и над полем рациональных чисел означает, что его невозможно разложить на множители - целочисленные многочлены степеней меньших чем $n = 4$. Следовательно, строго положительное число F(w), представленное в виде неприводимого многочлена, не может быть целой степенью натурального числа

Неверно. Стандартная ошибка: тот факт, что некий многочлен F не может быть разложен на множители, НЕ означает, что одно его конкретное значение в какой-то конкретной точке не может быть разложено на множители.
Кроме того, вы неизвестно куда подевали случай $x<y$ (хотя, на самом деле, в рассуждениях это нигде не использовалось).
В следующих пунктах - та же ошибка.

[age]

тема персонально для Brukvaluba.

[Гаджимурат]

Леонид Вайсруб в сообщении #234438 писал(а):

Для всех четных значений показателя степени

Согласен с "migmit" по соотношению 1.Все остальное-без коментарий.Или ,воспользовавшись методом доказательства ,который использует автор, -не верю!

[gris]

Как приятно после долгого отсутствия встретить самоотверженно штурмующих небо и Виктора Ширшова, и Гаджимурата, и Леонида Вайсруба!

Но душа искренне скорбит от потери их строгого оппонента b...

[Гаджимурат]

gris
Здравствуйте $gris$!Да,долго я не выхожу с продолжением своих опусов по ВТФ,но на это есть причины :
1. Лето,много работы,даже отпуск не отгулял.
2.Изучал весь ход доказательств от Ферма и до Уайлса.
3.Понял ,что мои исследования можно упростить,перейдя к исследованию ур-ния Ф. для 3 степени.

[gris]

А мне интересно бывает почитать и поучаствовать в обсуждении исследований на тему доказательства ВТФ. Там всегда бывают свежие, оригинальные и, честно говоря, доступные идеи. Не всем же понятны хитросплетения эллиптических кривых, которые паутиной запутывают мозги. Я верю, что когда-нибудь мы на форуме будем свидетелями появления совершенно удивительного по своей простоте и изяществу доказательства теоремы. Жаль, что многие исследователи под влиянием насмешек и недоброжелательной критики не развивают свои идеи.

[Виктор Ширшов]

Здравствуйте gris!

gris в сообщении #236335 писал(а):

Но душа искренне скорбит от потери их строгого оппонента b...

Наверное, упоминаемый "В..." тоже в Тмутаракань поехал. В Ваше отсутствие у заслуженного участника очень сильно расшатались нервы в дискуссиях с недоучками: в topic23110.html совершенно несправедливо оскорбил Рофмана В. М., обозвав его "фашистом".

[gris]

Ув. Виктор Ширшов!
Я в те разделы форума практически не заглядываю, так что мне трудно судить о том, насколько b был прав или неправ. Но мне очень жаль, что ушёл очень интересный и умный человек. Я с большим интересом читал его посты в разделе помогите решить.
А вот Вы тоже начали с весьма интересных теорий, но потом перешли к бесплодным перепалкам с оппонентами. А у Вас было несколько нетривиальных идей. Или Вы просто не хотите выкладывать Ваши исследования на всеобщее обозрение? Конечно, после той во многом несправедливой обструкции, которую Вам устроили, можно затаить обиду, но во-первых, Вы тогда на самом деле довольно небрежно оформляли свои сообщения, а во-вторых, было достаточно много читателей, пытавшихся понять и разобраться. Просто некоторые Ваши идеи требовали расширеного взгляда на проблему и, возможно, отказа от некоторых математических догм.
Но я надеюсь ещё увидеть Ваши размышления на страницах форума и потеребить Вас назойливыми вопросами, проистекающими не из чувства зависти и желания коллективноо потравить оппонента, а от желания познать что-то новое.

[Виктор Ширшов]

gris в сообщении #236586 писал(а):

А у Вас было несколько нетривиальных идей. Или Вы просто не хотите выкладывать Ваши исследования на всеобщее обозрение? Конечно, после той во многом несправедливой обструкции, которую Вам устроили, можно затаить обиду, но во-первых, Вы тогда на самом деле довольно небрежно оформляли свои сообщения, а во-вторых, было достаточно много читателей, пытавшихся понять и разобраться. Просто некоторые Ваши идеи требовали расширеного взгляда на проблему и, возможно, отказа от некоторых математических догм.

Идеи были и есть. Большая их часть относится к астрономии. Сейчас я почти всё свободное время трачу не на дискуссионные перепалки, а на подготовку к изданию научно-популярной книги, где история Земли и человечества рисуется на основе моей дилетантской "ереси". В ней же хочу поместить в отдельный раздел свои идеи, в более расширенном объёме, относящиеся к астрономии, геологии, климатологии, археологии и математике.
Некоторые идеи я выношу на всеобщее обозрение, не боясь, как Г. А. Серёдкин, Леонид Вайсруб и некоторые другие, что ими могут воспользоваться или даже украсть пустоголовы.

Я - не любитель, как другие участники, проводить какие-то расчёты, что-то проверять. Указанное решение Леонида Вайсруба ВТФ прокомментирую следующим образом. Даже если бы он доказал Великую теорему Ферма, само доказательство таким сложным, быть не может: непонятно, зачем целые числа делить на "чётные" и "нечётные", перемножать их, выполнять какие-то математические манипуляции над ними. Француз говорил об "удивительном" доказательстве, а таким может быть только простое, элементарное или, как выражаются многие заслуженные участники, тривиальное решение. Далее в доказательстве Леонида Вайсруба, как и у других ферматистов, отсутствует "метод подъёма" (естественно, степеней), на котором, по утверждению Ферма, базируется доказательство проблемной теоремы. Поэтому в данном случае о найденном решении ВТФ говорить не приходиться.

[gris]

Виктор Ширшов, про астрономию было бы интересно почитать. Может быть, кинете что-нибудь на форум? Есть же раздел в физике.

[Виктор Ширшов]

Кинул

[grisania]

Виктор Ширшов в сообщении #236885 писал(а):

Кинул

Виктор Ширшов, а чем вы по жизни занимаетесь, если не секрет?

[Виктор Ширшов]

grisania в сообщении #237483 писал(а):

Виктор Ширшов, а чем вы по жизни занимаетесь, если не секрет?

У меня секретов нет. В post237593.html#p237593 найдёте ответ на свой вопрос.