Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

Виктор Викторов. Приводите вывод вполнеупорядочения из аксиомы выбора. Вот и разберём в чём ошибка. Я пока не достал книгу, которую Вы желали. Могу предъявить свою, если вас устроит. А то скажете, что я умышленно привожу некорректное доказательство.

[AD]

Инт в сообщении #234662 писал(а):

А то скажете, что я умышленно привожу некорректное доказательство.

Мы скажем это только в том случае, если оно таким и будет. Ваши опасения непонятны. Репутацию Вам всё равно терять некуда.

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #234659 писал(а):

Вы пишите: «Но в применении аксиомы подстановки и есть ошибка.» В чём эта ошибка? Если область определения множество, то и область значений множество. В чём ошибка?

Вопрос остался без ответа.

Инт в сообщении #234662 писал(а):

Виктор Викторов. Приводите вывод вполнеупорядочения из аксиомы выбора. Вот и разберём в чём ошибка. Я пока не достал книгу, которую Вы желали. Могу предъявить свою, если вас устроит. А то скажете, что я умышленно привожу некорректное доказательство.

[Инт]

Виктор Викторов. Скачал, упомяную Вами книгу. Из неё:

Цитата:

Легко проверить, что пересечение любого множества цепей есть цепь; значит, существует так называемая наименьшая цепь множества $M$ - именно цепь $K_0$, являющаяся пересечением всех цепей множества всех цепей множества $M$.

Доказательство Александрова не короткое и формализовано, т.е. вообще не ссылается ни на какие аксиомы, как можно видеть. В частности, видно, что в аргументах из ниоткуда берётся предположение, что "множество цепей" есть собственно множество. Поясню, что далее, Александров лишь проверяет, что $K_0$ вполнеупорядочивает $M$.

-- Ср авг 12, 2009 21:22:35 --

Вот и поясните, откуда берётся утверждаемое.

-- Ср авг 12, 2009 21:27:18 --

Ещё добавлю, что утверждение, что множество цепей есть множество эквивалентно доказываемой теореме. Это тривиально проверяется в доказательстве прямой и обратной импликации. В то время, как утверждение приводится без доказательства в начале обоснования теоремы о вполнепорядке на $M$.

-- Ср авг 12, 2009 21:39:39 --

В итоге, уточняю, надо доказать утверждение множество цепей существует.

[Droog_Andrey]

Инт в сообщении #234606 писал(а):

повод задуматься об истинной мощности континуума, т.е. о реальном решении континуум-проблемы.

Если Вы имеете здесь в виду объективную физическую реальность, то в ней отсутствуют объекты с бесконечной информационной ёмкостью, поэтому понятие континуума абстрактно (но его ещё можно определить). Вполне упорядочить его нельзя, т.к. процедура выбора произвольного элемента почти всегда требует передачи бесконечного (правда, счётного) объёма информации. Поэтому $c = \aleph_1 = 2^{\aleph_0}$, причём $2^{\aleph_1}$ уже не имеет смысла.

Вот, примерно таково "реальное решение", но разве речь о нём?

Виктор Викторов в сообщении #234639 писал(а):

Могу ли я использовать Ваше выражение «идёт лесом»? Не будет ли использование нарушением копирайта?

Конечно, это не я придумал вовсе Так сказать, народное достояние.

[Инт]

Droog_Andrey У Вас очень общее философское, не математическое и ничем не подкреплённое утверждение. Т.е. Вы по существу просто хотите, чтобы континуум-гипотеза была выполнена.

[Droog_Andrey]

Инт, конечно, не математическое, ведь мы говорим о "реальной мощности", а н о математически определённой.

Но насчёт того, что оно ничем не подкреплено, Вы ошибаетсь, т.к. в объективной физической реальности не существует объектов с бесконечной энтропией.

[Инт]

Droog_Andrey в сообщении #234684 писал(а):

Инт, конечно, не математическое, ведь мы говорим о "реальной мощности", а н о математически определённой. Но насчёт того, что оно ничем не подкреплено, Вы ошибаетсь, т.к. в объективной физической реальности не существует объектов с бесконечной энтропией.

Как Вы это докажете интересно? Но это к делу не относится. Может быть, Вы что-нибудь по моему решению спросите?

[Droog_Andrey]

Если бы существовал объект с бесконечной энтропией $S$, у него была бы бесконечная полная энергия $U \geqslant 2TS$, где $T$ - положительная температура.

Инт в сообщении #234683 писал(а):

Вы по существу просто хотите, чтобы континуум-гипотеза была выполнена.

ОК, пусть существует множество $A$, такое, что $\aleph_0 > A > 2^{\aleph_0}$. Какой максимальный объём информации необходим для выбора машиной Тьюринга произвольного элемента $A$? Напомню, что для выбора из $\aleph_0$ нужен конечный объём информации, из $2^{\aleph_0}$ - счётный.

Инт в сообщении #234687 писал(а):

Может быть, Вы что-нибудь по моему решению спросите?

Согласно вашему решению, упомянутое мной только что множество $A$ должно существовать. Вот я и задал о нём вопрос.

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #234671 писал(а):

Доказательство Александрова не короткое и формализовано, т.е. вообще не ссылается ни на какие аксиомы, как можно видеть. В частности, видно, что в аргументах из ниоткуда берётся предположение, что "множество цепей" есть собственно множество.

Множество цепей есть подмножество множества-степени. У Вас проблема вывести это из ZFC?
Поправка. Множество цепей, конечно, подмножество множества-степени множества-степени. Но суть дела от этого не меняется.

Инт в сообщении #234671 писал(а):

Ещё добавлю, что утверждение, что множество цепей есть множество эквивалентно доказываемой теореме. Это тривиально проверяется в доказательстве прямой и обратной импликации. В то время, как утверждение приводится без доказательства в начале обоснования теоремы о вполнепорядке на $M$.

О чём Вы? Есть аксиома выделения, и есть аксиома выбора. Вам их не хватает, чтобы выделить соответствующее подмножество множества-степени?

Инт в сообщении #234671 писал(а):

В итоге, уточняю, надо доказать утверждение множество цепей существует.

А ещё надо читать текст: «Цепи существуют: в самом деле, множество всех подмножеств множества $M$ является цепью.» Страница 81. Строчка 5 сверху.

[Инт]

Droog_Andrey в сообщении #234688 писал(а):

Если бы существовал объект с бесконечной энтропией $S$, у него была бы бесконечная полная энергия $U \geqslant 2TS$, где $T$ - положительная температура.

Инт в сообщении #234683 писал(а):

Вы по существу просто хотите, чтобы континуум-гипотеза была выполнена.

ОК, пусть существует множество $A$, такое, что $\aleph_0 > A > 2^{\aleph_0}$. Какой максимальный объём информации необходим для выбора машиной Тьюринга произвольного элемента $A$? Напомню, что для выбора из $\aleph_0$ нужен конечный объём информации, из $2^{\aleph_0}$ - счётный.

Инт в сообщении #234687 писал(а):

Может быть, Вы что-нибудь по моему решению спросите?

Согласно вашему решению, упомянутое мной только что множество $A$ должно существовать. Вот я и задал о нём вопрос.

Спорно, вроде. Счётное множество точек на континууме может потребовать счётного множества информации. Даже одна точка может потребовать счётности информации. Поэтому, счётная информация необходима и для выбора из $A$.

-- Ср авг 12, 2009 22:54:41 --

Виктор Викторов в сообщении #234690 писал(а):

О чём Вы? Есть аксиома выделения, и есть аксиома выбора. Вам их не хватает, чтобы выделить соответствующее подмножество множества-степени?

Ну да, вроде хватает. Подумаю ещё.

-- Ср авг 12, 2009 22:58:37 --

Что-то подобное, о чём Вы пишите, я уже отмечал. Вот и надо понять откуда появляется противоречие в ZFC.

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #234692 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #234690 писал(а):

О чём Вы? Есть аксиома выделения, и есть аксиома выбора. Вам их не хватает, чтобы выделить соответствующее подмножество множества-степени?

Ну да, вроде хватает. Подумаю ещё.

Вот и ладушки.

Инт в сообщении #234692 писал(а):

Что-то подобное, о чём Вы пишите, я уже отмечал. Вот и надо понять откуда появляется противоречие в ZFC.

Нету противоречия в ZFC. Оно (противоречие) Вам снится.

[Инт]

Ещё одно сомнение, которое обдумываю. Напоследок. См. определение на стр. 80-81 п.п. а)-г). Пункт в), который утверждает, что сумма по любым элементам цепи должна быть элементом цепи, т.е. по другому говоря, объединение элементов цепи как множеств является элементом цепи. А по какому множеству производится объединение? Вдруг это очень большое "множество ординалов"? А множество такое должно указываться как при применении аксиомы подстановки, так и аксиомы выделения. Иначе формула выделения не будет формулой.

-- Ср авг 12, 2009 23:36:43 --

Противоречие с утверждением о вполне упорядочении выводится строго. См. построение моей линии.

[rishelie]

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Независимо от множества $HC$ определяется континуум $C_1$, как множество двоичных последовательностей длины $\aleph_1$

Пардон, откуда следует, что $2^{\aleph_1}=\frak c$ ?? При CH это точно не верно, а при отрицании CH это равенство откуда может следовать?
Далее, какой порядок рассматроивается на $C_1$? Если это дуга окружности с естественным порядком (угол радиуса), то ни о каких гипердействительных числах тут не может идти речи, ибо это просто интервал $(0;1)$, натянутый на дугу окружности. Если же там какой-то иной порядок, то он не будет иметь ничего общего с евклидовой непрерывностью.
Соответственно, если $B$ суть подмножество $C_1$ (читай интервала $(0;1)$), а $HQ$ сопоставлено ему взаимно однозначно, то $HQ$ изоморфно вкладывается в $\mathbb R$, т.е. в нем не может быть более чем счетных возрастающих/убывающих последовательностей.

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Естественно после этого выдвинуть гипотезу, что по сектору $D$ можно провести линии и в остальные точки гиперпрямой $C_1$, т.е. не только в точки множества $B$.

Разумеется! Это будут радиусы, направленные в точки дуги $C_1$. Ничего гипердействительного тут и в помине нет.

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Мощность множества $C_1$ равна $2^{\aleph_1}$. Число линий множества $HC$ равно $2^{\aleph_0}$.

Это верно, если $C_1$ не сравнивать с дугой.

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Следовательно, $2^{\aleph_1} = 2^{\aleph_0} $

А это откуда следует? Вы по сути рассматриваете равномощность двух подмножеств - одного в $HC$, второго в $C_1$, и на основании этого делаете вывод о равномощности самих множеств?

Инт в сообщении #233873 писал(а):

1) $\aleph_1$ линий, вполнеупорядоченных по отношению сравнения, которое для линий было определено, и заканчивающихся на дуге $C$, после трансформации, так же будут заканчиваться на этой дуге

Следует ли понимать трансформацию линии $l$ как равномерно непрерывное отображение $H(x,t):(0;1)^2\to D$, что: (а) $H(x,0)$ пробегает линию $l$, (b) $H(x,1)$ пробегает линию, получаемую в результате трансорфмации.
Если это не так, то гарантировать непрерывнось в результате трансформации нельзя. Значит, нужно указать некие добавочные условия на трансформацию. Одной лишь непрерывности внутри $D$ недостаточно.

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Пользуясь указанной трансформацией, можно указать ещё одну линию, не равную ни одной из указанных $\aleph_1$ линий.

Как именно?

Инт в сообщении #233873 писал(а):

Такое извлечение всё новых и новых линий можно продолжать без ограничений, до любого кардинала.

Нет, максимум до $\aleph_1$, т.к. процедура построения предполагает наличие счетной конфинальной последовательности.

Инт в сообщении #234533 писал(а):

То, что можно выстраивать трансфинитные последовательности сравнимых линий мы проверили с rishelie

Мы показали следующее: Существует $\aleph_1$-последовательность на множестве функций $\{f:\omega\to\mathbb R\}$, упорядоченных отношением $\ll$. Не больше и не меньше. В параллельной ветке AGu также показал, что в данное множество с порядком $\ll$ можно вложить любой ординал мощности меньше $\aleph_2$. К мощности континуума без CH это не имеет отношения. Что если принять аксиому, что $\frak c$ - предельный регулярный кардинал?

[Виктор Викторов]

Инт в сообщении #234703 писал(а):

Ещё одно сомнение, которое обдумываю. Напоследок. См. определение на стр. 80-81 п.п. а)-г). Пункт в), который утверждает, что сумма по любым элементам цепи должна быть элементом цепи, т.е. по другому говоря, объединение элементов цепи как множеств является элементом цепи. А по какому множеству производится объединение? Вдруг это очень большое "множество ординалов"? А множество такое должно указываться как при применении аксиомы подстановки, так и аксиомы выделения. Иначе формула выделения не будет формулой.

Во-первых, нет ещё никаких ординалов. Минимальная цепь вполне упорядочивается позже. Объединение элементов цепи как множеств вполне законно по ZFC. А во-вторых, мощность множества, по которому производится объединение никак не больше чем мощность множества-степени.

Инт в сообщении #234703 писал(а):

Противоречие с утверждением о вполне упорядочении выводится строго. См. построение моей линии.

Если строго, то найдите ошибку в доказательстве Цермело. Тогда и поговорим о Вашей линии.