интеграл (плотность логнормального распределения)

[marine]

Подскажите, пожалуйста, как найти интеграл:

$$\int_{0}^{\infty} e^{ -\frac {(\ln z - \mu)^2} {2\sigma^2}}dz$$

У меня есть ответ, но хотелось бы знать, как он получен.

[nn910]

marine в сообщении #234260 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как найти интеграл:

$$\int_{0}^{\infty} e^{ -\frac {(ln z - \mu)^2} {2\sigma^2}}dz$$

У меня есть ответ, но хотелось бы знать, как он получен.

Считается в книгах,где вводится плотность логнормального распределения. Воспроизвожу.
Замена $z=e^t$тогда $dz=e^tdt$ и $$\int_{0}^{\infty} e^{ -\frac {(ln z - \mu)^2} {2\sigma^2}}dz=\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {(t - \mu)^2} {2\sigma^2}+t}dt=
\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {(t - \mu-\sigma^2)^2} {2\sigma^2}+\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}}dt=e^{\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}}*\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {(t - \mu-\sigma^2)^2} {2\sigma^2}}dt$$ Заменой $x=\dfrac{t-\mu-\sigma^2}{\sigma}$ сводится к стандартному

$$\sigma*e^{\mu+\dfrac{\sigma^2}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {x^2} {2}}dx$$

который можно вычислить так. Рассмотрим интеграл по всей плоскости от$e^{-\dfrac{x^2+y^2}{2}$ как в прямоугольных,так и в полярных (r,$\psi$ ) координатах, тогда $dxdy=rdrd\psi$ и переходя к повторным интегралам

$$\int_{-\infty}^{\infty}{ e^{ -\frac {y^2} {2}}}*\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {x^2} {2}}dxdy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} r*e^{ -\frac {r^2} {2}}drd\psi$$

$u=\dfrac{r^2}{2}$ , $du=rdr$

$$(\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {y^2} {2}dy) *(\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {x^2} {2}}dx)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{ -u}}dud\psi$$

$$(\int_{-\infty}^{\infty} e^{ -\frac {x^2} {2}}dx)^2=2\pi$$

,отсюда искомый стандартный интеграл равен$\sqrt{2\pi}$

[marine]

Спасибо Вам огромное!!!! Вы мне очень помогли.

-------------------------
Я только хотела сказать, что свертка должна быть

$e^{{-\frac {(t-\mu)^2}{2\sigma^2}+t}$=$e^{-\frac {(t-\mu-\sigma^2)^2}{2\sigma^2}+\mu+\sigma^2/2$

и ответ будет
$\sigma\sqrt{2\pi}$e^{\mu+\sigma^2/2}
-------------
Спасибо еще раз.

[nn910]

marine в сообщении #234384 писал(а):

Я только хотела сказать, что свертка должна быть

$e^{{-\frac {(t-\mu)^2}{2\sigma^2}+t}$=$e^{-\frac {(t-\mu-\sigma^2)^2}{2\sigma^2}+\mu+\sigma^2/2$

и ответ будет
$\sigma\sqrt{2\pi}$e^{\mu+\sigma^2/2}

Да,негоже закрывать тему с ошибками. Отредактирую тот длинный пост.